কষে দেখি 1.1
(i) `x^2-7x+2`
সমাধানঃ এটি একটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা কারণ এক্ষেত্রে বহুপদী সংখ্যামালার `x` এর সর্বোচ্চ ঘাত ২।
(ii) `7x^5-x\left(x+2\right)`
সমাধানঃ `7x^5-x\left(x+2\right)`
= `7x^5-x^2-2x`
এটি একটি বহুপদী সংখ্যামালা হলেও দ্বিঘাত বহুপদী
সংখ্যামালা নয় কারণ এক্ষেত্রে `X` এর সর্বোচ্চ ঘাত ৫।
সমাধানঃ `2x\left(x+5\right)+1` =
`2x^2+10x+1`
এটি একটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা কারণ এক্ষেত্রে বহুপদী
সংখ্যামালার `X` এর সর্বোচ্চ ঘাত ২।
(i) `x-1+\frac1x=6\quad(x\ne0)`
সমাধানঃ
`x-1+\frac1x=6`
বা, `x-x+1=6x`
বা, `x-x-6x+1=0`
বা, `x^2-7x+1=0`
∴ প্রদত্ত সমীকরণটিকে `ax^2+bx+c` আকারে প্রকাশ করা গেল।
(ii) `x+\frac3x=x^2\quad(x\ne0)`
সমাধানঃ
`x+\frac3x=x^2`
বা, `\frac{x^2+3}x=x^2`
বা, `x^2+3=x^3`
বা, `x^2-x^3+3=0`
∴ প্রদত্ত সমীকরণটিকে `ax^2+bx+c` আকারে প্রকাশ করা যায় না।
(iii) `x^2-6\sqrt x+2=0`
সমাধানঃ
`x^2-6\sqrt x+2=0`
বা, `x^2-6x^\frac{1}{2}+2=0`
∴ প্রদত্ত সমীকরণটিকে `ax^2+bx+c` আকারে প্রকাশ করা যায় না।
(iv) `(x-2)^2=x^2-4x+4`
সমাধানঃ
`(x-2)^2=x^2-4x+4`
বা, `x^2-4x+4=x^2-4x+4`
∴ প্রদত্ত সমীকরণটিকে `ax^2+bx+c` আকারে প্রকাশ করা যায় না কারণ এটি একটি অভেদ ।
3. `x^6-x^3-2=0` সমীকরণটি চলের কোন ঘাতের সাপেক্ষে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ তা নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
`x^6-x^3-2=0`
বা, `(x^3)^2-x^3-2=0`
∴ প্রদত্ত সমীকরণটিকে `ax^2+bx+c` আকারে প্রকাশ করা গেল।
∴ প্রদত্ত সমীকরণ টি `x^3` এর সাপেক্ষে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ ।
4. (i) `(a-2)x^2+3x+5=0` সমীকরণটি `a` এর কোন মানের জন্য দ্বিঘাত সমীকরণ হবেনা তা নির্ণয় করি ।
সমাধানঃ
প্রদত্ত সমীকরণ টি দ্বিঘাত সমীকরণ হবেনা যদি `a-2=0` হয়
(যেহেতু
`ax^2+bx+c=0` সমীকরণে `x=0` হলে সমীকরণ টি দ্বিঘাত সমীকরণ হইনা)
∴ `a=2` হলে প্রদত্ত সমীকরণটি দ্বিঘাত সমীকরণ হবেনা ।
(ii) `\frac x{4-x}=\frac1{3x}`, `\left(x\ne0,x\ne4\right)` কে `ax^2+bx+c=0`, `\left(a\ne0\right)` দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে প্রকাশ করলে `x` এর সহগ কত হবে নির্ণয় করি ।
সমাধানঃ
`\frac x{4-x}=\frac1{3x}`
বা, `3x^2=4-x`
বা, `3x^2+x-4=0`
∴ `x` এর সহগ `1`
(iii) `3x^2+7x+23``=(x+4)(x+3)+2` - কে `ax^2+bx+c=0` `(a≠0)` দ্বিঘাত সমীকরনের আকারে প্রকাশ করি ।
সমাধানঃ
`3x^2+7x+23=``(x+4)(x+3)+2`
বা, `3x^2+7x+23=``x^2+4x+3x+12+2`
বা, `3x^2+7x+23=``x^2+7x+14`
বা, `3x^2-x^2+7x-7x+23-14``=0`
বা, `2x^2+9=0`
বা, `2x^2+0x+9=0`
∴ প্রদত্ত সমীকরণটিকে `ax^2+bx+c` আকারে প্রকাশ করা গেল যেখানে `a≠0` ।
(iv) `(x+2)^3=x(x^2-1)` -কে `ax^2+bx+c=0`,`(a≠0)` দ্বিঘাত সমীকরনের আকারে প্রকাশ করি এবং `x^2,x` ও `x^0` এর সহগ লিখি।
সমাধানঃ
`(x+2)^3=x(x^2-1)`
বা, `x^3+3x^2(2)+3x(2)^2+(2)^3=``x^3-x`
বা, `x^3+6x^2+12x+8=``x^3-x`
বা, `6x^2+13x+8=0`
∴ প্রদত্ত সমীকরণটিকে `ax^2+bx+c=0` আকারে প্রকাশ করা গেল যেখানে `a≠0` এবং `x^2` এর সহগ `6 , x` এর সহগ 13 এবং `x^0` এর সহগ 8 ।
5. নিচের বিবৃতি গুলি থেকে একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি ।
(i) 42 কে দুটি অংশে বিভক্ত করো যাতে একটি অংশ অপর অংশের বর্গের সমান হয়।
সমাধানঃ
ধরি, একটি অংশ `x`
∴ অপর অংশ `(42-x)`
শর্তানুসারে,
`x^2=(42-x)`
বা, `x^2+x-42=0`
∴ `x^2+x-42=0` হল নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ ।
(ii)
দুটি ক্রমিক ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যার গুনফল 143
সমাধানঃ
ধরি একটি সংখ্যা `x`
∴ অপর সংখ্যাটি হবে `(x+2)` [ যেহেতু ক্রমিক ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যা ]
শর্তানুসারে,
`x(x+2)=143`
বা, `x^2+2x-143=0`
∴ `x^2+2x-143=0` হল নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ ।
(iii)
দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি 313 ।
সমাধানঃ
ধরি, একটি সংখ্যা `x`
∴ অপর সংখ্যা `(x+1)`
শর্তানুসারে,
`x^2+(x+1)^2=313`
বা,`x^2+x^2+2x+1=313`,br> বা, `2x^2+2x+1=313`
বা, `2x^2+2x+1-313=0`
বা `2x^2+2x-312=0`
বা, `x^2+x-156=0` [ উভয়পক্ষে `2` দ্বারা ভাগ করে পাই ]
∴ `x^2+x-156=0`, হল নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ ।
6. নিচের বিবৃতি গুলি থেকে একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি ।
(i) একটি আয়তকার ক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 15 মিটার এবং তার দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা 3মিটার বেশি ।
সমাধানঃ
ধরি , আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ `x` মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য `(x+3)` মিটার
আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য =√(দৈর্ঘ্য²+প্রস্থ²)
শর্তানুসারে ,
`\sqrt{x^2+\left(x+3\right)^2}=15`
উভয়পক্ষ কে বর্গ করে পাই,
`x^2+(x+3)^2=225`
বা, `x^2+x^2+2.x.3+(3)^2=225`
বা, `2x^2+6x+9=225`
বা, `2x^2+6x+9-225=0`
বা, `2x^2+6x-216=0`
বা, `x^2+3x-108=0` [উভয়পক্ষে `2` দ্বারা ভাগ করে পাই ]
∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল `x^2+3x-108=0`
(ii)
এক ব্যাক্তি 80 টাকায়ে কয়েক কিগ্রা চিনি ক্রয় করলেন। যদি ওই টাকায়ে তিনি
আর ও 4 কিগ্রা চিনি বেশি পেতেন তবে তার কিগ্রা প্রতি চিনির দাম 1 টাকা কম হত
।
সমাধানঃ
ধরি , প্রতি কিগ্রা চিনির মূল্য `x` টাকা
∴ `80` টাকায়ে পাওয়া যাবে `80/x` কিগ্রা চিনি।
এখন প্রতি কিগ্রা চিনির দাম `(x-1)` টাকা হলে, `80` টাকায়ে পাওয়া যাবে
`80/(x-1)` কিগ্রা চিনি ।
শর্তানুসারে,
`\frac{80}{x-1}-\frac{80}x=4`
বা, `\frac{80x-80\left(x-1\right)}{x\left(x-1\right)}=4`
বা, `\frac{80x-80x-80}{x^2-x}=4`
বা, `\frac{80}{x^2-x}=4`
বা, `4\left(x^2-x\right)=80`
বা, `4x^2-4x-80=0`
বা, `x^2-x-20=0` [উভয় পক্ষকে 4 দ্বারা ভাগ করে পায়]
∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল `x^2-x-20 =0`
(iii)
দুটি স্টেশন এর মধ্যে দূরত্ব 300 km ।একটি ট্রেন প্রথম স্টেশন থেকে সমবেগে
দ্বিতীয় স্টেশন এ গেল । ট্রেন টির গতিবেগ ঘণ্টায়ে 5km বেশি হলে ট্রেন টির
দ্বিতীয় স্টেশন এ যেতে 2 ঘণ্টা সময় কম লাগত ।
সমাধানঃ
ধরি , ট্রেন টির গতিবেগ `x`কিমি/ঘন্টা ∴ `300` কিমি যেতে ট্রেনটির সময়
লাগবে `300/x` ঘন্টা [ যেহেতু , সময় = দূরত্ব /গতিবেগ]
ট্রেনটির গতিবেগ `(x+5)` কিমি প্রতি ঘণ্টা হলে, `300` কিমি যেতে সময় লাগবে
`300/(x+5)` ঘণ্টা [ যেহেতু , সময় = দূরত্ব /গতিবেগ]।
শর্তানুসারে ,
`\frac{300}x-\frac{300}{x+5}=2`
বা, `\frac{300\left(x+5\right)-300x}{x(x+5)}=2`
বা, `\frac{300x+1500-300x}{x(x+5)}=2`
বা, `\frac{1500}{x(x+5)}=2`
বা, `2x\left(x+5\right)=1500`
বা, `2x^2+10x-1500=0`
বা, `x^2+5x-750=0` [উভয় পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে পায়]
∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল `x^2+5x-750=0`
(iv)
একজন ঘড়ি বিক্রেতা একটি ঘড়ি ক্রয় করে 336 টাকায়ে বিক্রি করলেন ।তিনি যত
টাকায়ে ঘড়ি টি ক্রয় করেছিলেন শতকরা তত টাকা তার লাভ হল ।
সমাধানঃ
ধরি , ঘড়িটি তিনি `x` টাকায়ে ক্রয় করেছিলেন ।
এবং ঘড়িটি বিক্রি করেছেন 336 টাকায়ে
∴ লাভ`=`ক্রয়মূল্য`-`বিক্রয় মূল্য`=(336-x)` টাকা
∴ শতকরা লাভ`=`(লাভ`/`ক্রয় মূল্য)`×100=(336-x)/x``\times100\%`
শর্তানুসারে,
`\frac{336-x}x\times100=x`
বা, `\frac{(336-x)\times100}x=x`
বা, `(336-x)\times100=x^2`
বা, `33600-100x=x^2`
বা, `x^2+100x-33600=0`
∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল `x^2+100x-33600=0`
(v)
স্রোতের বেগ ঘণ্টায় 2km হলে রতন মাঝি স্রোতের অনুকুলে 21km গিয়ে ওই দূরত্ব
ফিরে আস্তে 10 ঘণ্টা সময় লাগে ।
সমাধানঃ
ধরি, নৌকার বেগ `x` কিমি /ঘণ্টা
∴ স্রোতের অনুকুলে নৌকার বেগ `=(x+2)` কিমি/ ঘণ্টা
এবং স্রোতের প্রতিকুলে নৌকার বেগ `=(x-2)` কিমি/ ঘণ্টা
সময়`=`দুরত্ব/গতিবেগ
∴ স্রোতের অনুকূলে 21 কিমি. যেতে সময় লাগে `21/(x+2)` ঘণ্টা এবং স্রোতের
প্রতিকূলে 21 কিমি. ফিরে আসতে সময় লাগে `21/(x-2)` ঘণ্টা ।
শর্তানুসারে,
`\frac{21}{x+2}+\frac{21}{x-2}=10`
বা,
`\frac{21\left(x-2\right)+21\left(x+2\right)}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}=10`
বা, `\frac{21x-42+21x+42}{x^2-2^2}=10`
`a^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right)`
বা, `\frac{42x}{x^2-4}=10`
বা, `42x=10\left(x^2-4\right)`
বা, `42x=10x^2-40`
বা, `10x^2-42x-40=0`
বা, `5x^2-21x-20=0`
∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল `5x^2-21x-20=0`
(vi)
আমাদের বারির বাগান পরিষ্কার করতে মহিম অপেহ্মা মজিদের 3 ঘণ্টা বেশি সময়
লাগে । তারা উভয় একসঙ্গে কাজটি 2 ঘণ্টায়ে শেষ করতে পারে ।
সমাধানঃ
ধরি, মহিমের বাগান পরিষ্কার করতে সময় লাগে `x` ঘণ্টা
∴ মজিদের সময় লাগে `(x+3)` ঘণ্টা
আরও ধরাযাক মোট কাজের পরিমাণ 1 অংশ ।
∴ মহিম `x` ঘণ্টায়ে কাজ করে 1 অংশ
∴ মহিম 1 ঘণ্টায়ে কাজ করে `1/x` অংশ
মজিদ `(x+3)` ঘণ্টায়ে কাজ করে 1 অংশ
∴ মজিদ 1 ঘণ্টায়ে কাজ করে `1/(x+3)` অংশ
∴ তারা একত্রে 1 ঘণ্টায় কাজ করে `\frac1x+\frac1{x+3}` অংশ।
এবং তারা একত্রে 2 ঘণ্টায় কাজ কর `2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{ x+3}\right)`
অংশ।
শর্তানুসারে,
`2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{ x+3}\right)=1`
বা, `left(\frac{1}{x}+\frac{1}{ x+3}\right)=1/2`
বা, `\frac{(x+3)+x}{x\left(x+3\right)}=1/2`
বা, `\frac{2x+3}{x^2+3x}=\frac12`
বা, `2\left(2x+3\right)=x^2+3x`
বা, `4x+6=x^2+3x`
বা, `x^2+3x-4x-6=0`
বা, `x^2-x-6=0`
∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল `x^2-x-6=0`
(vii)
দুই অঙ্ক বিশিষ্ট একটি সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্ক টি দশক স্থানীয় অঙ্ক
অপেহ্মা 6 বেশি এবং অঙ্ক দ্বয়ের গুনফল সংখ্যাটি থেকে 12 কম ।
সমাধানঃ
ধরি দুই অঙ্ক বিশিষ্ট সংখ্যার দশক স্থানীয় অঙ্ক `x`
∴ একক স্থানীয় অঙ্ক হবে (x+6) ∴ দুই অঙ্ক বিশিষ্ট সংখ্যাটি হল
`10x+(x+6)=11x+6`
শর্তানুসারে,
`x(x+6)=(11x+6)–12`
বা, `x^2+6x=11x-6`
বা, `x^2+6x-11x+6=0`
বা, `x^2-5x+6=0`
∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল `x^2-5x+6=0`
(viii)
45 মিটার দীর্ঘ ও 40 মিটার প্রসস্থ একটি আয়তক্ষেত্রাকার খেলার মাঠের বাইরের
চারপাশে সমান চওড়া একটি রাস্তা আছে এবং ওই রাস্তার ক্ষেত্রফল 450 বর্গ মিটার
।
সমাধানঃ
ধরি রাস্তাটি `x` মিটার চওড়া
∴ রাস্তা সহ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য `(45+2x)` মিটার
এবং রাস্তা সহ আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ `(40+2x)` মিটার
শর্তানুসারে,
`(45+2x)×(40+2x)-``(45×40)= 450`
বা, `1800+90x+80x+4x^2-``1800=450`
বা, `4x^2+170x-450=0`
বা, `2x^2+85x-225=0`
∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল `2x^2+85x-225=0` ।