অধ্যায় ০১ | কষে দেখি ১.২ | একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ

দশম শ্রেণীর গণিত বই এর অধ্যায় ০১ এর কষে দেখি ১.২ এর সমস্ত সমাধান করে দেওয়া হল। দ্বিঘাত সমীকরণ কষে দেখি ১.২ | Dighat Somikoron Koshe Dekhi 1.2 Solution

কষে দেখি

1.2

1. নিচের প্রতি ক্ষেত্রে প্রদত্ত মান গুলি দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ হবে কিনা যাচাই করে লিখিঃ

(i) `x^2+x+1=0` , `1` ও `-1`

সমাধানঃ 
`1` এবং `-1` প্রদত্ত সমীকরণ টির বীজ হলে সমীকরণটিকে সিদ্ধ করবে ।
এখন, `x^2+x+1=0` সমীকরনে `x` স্থানে `1` এবং `-1` বসিয়ে পাই ,
`(1)^2+1+1` `=1+1+1=3 ≠ 0`
আবার, `(-1)^2+(-1)+1` `=1-1+1=1``≠ 0`

সমীকরণটি `1` এবং `-1` কোনোটিই দ্বারা সিদ্ধ নয় সুতরাং `1` এবং `-1` প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ হবে না।

(ii) `8x^2+7x=0` , `0` ও `-2`

সমাধানঃ 
`0` এবং `2` প্রদত্ত সমীকরণ টির বীজ হলে সমীকরণ টিকে সিদ্ধ করবে ।
এখন, `8x^2+7x=0` সমীকরণটিতে `x` স্থানে `0` এবং `2` বসিয়ে পাই ,
`8(0)^2+7(0)=0`

∴ `0`, প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণটিকে সিদ্ধ করছে সুতরাং `0` প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ ।
আবার, `8(-2)^2+7(-2)` `=32-14=18≠0`

∴ `-2` প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণটিকে সিদ্ধ করছে না সুতরাং `-2` প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ নয় ।

(iii) `x+1/x=13/6` , `5/6` ও `4/3`

সমাধানঃ 
`5/6` এবং `4/3` প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণটির বীজ হলে সমীকরণটিকে সিদ্ধ করবে ।
এখন, `x+1/x=13/6` সমীকরণটিতে `x` স্থানে `5/6` এবং `4/3` বসিয়ে পাই ,

`5/6+1/{5/6}=5/6+6/5`

বা, `{25+36}/30=61/30≠13/6`

আবার, `4/3+1/{4/3}=4/3+3/4`

বা, `{16+9}/12=25/4≠13/6`

∴ `5/6` এবং `4/3` কোনোটিই প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণটির বীজ নয়।

(iv) `x^2-\sqrt3x-6=0`, `-\sqrt3` ও `2\sqrt3`

সমাধানঃ 
`-\sqrt3` এবং `2\sqrt3` প্রদত্ত সমীকরণ টির বীজ হলে সমীকরণ টিকে সিদ্ধ করবে ।
এখন, `x^2-\sqrt3.x-6=0` সমীকরণটিতে `x` স্থানে `\sqrt3` এবং `2\sqrt3` বসিয়ে পাই ,
`(-\sqrt3)^2-\sqrt3(-\sqrt3)-6``=3+3-6=6-6=0`

∴ `-\sqrt3` প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণটিকে সিদ্ধ করছে সুতরাং `-\sqrt3` প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ হবে ।

আবার, `(2\sqrt3)^2-``\sqrt3(2\sqrt3)-6``=12-6-6=12-12=0`

∴ `2\sqrt3` প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণটিকে সিদ্ধ করছে সুতরাং `2\sqrt3` প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ হবে ।

2 (i). K এর কোন মানের জন্য `7x^2+kx-3=0` দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ `2/3` হবে হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ 
`7x^2+kx-3=0` এই দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ `2/3` হলে, অবশ্যই `2/3` সমীকরণটিকে সিদ্ধ করবে।

`7(2/3)^2+k(2/3)-3=0`
বা, `28/9+{2k}/3-3=0`
বা, `{28+6k-27}/9=0`
বা, `6k+1=0`
বা, `6k=-1`
বা, `k=-1/6`

∴ `k` এর মান `-1/6` হলে `7x^2+kx-3=0` দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ `2/3` হবে ।

(ii) `k` এর কোন মানের জন্য `x^2+3ax+k=0` দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ হবে `–a` ?

সমাধানঃ 
`x^2+3ax+k=0` দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ `–a`
∴ `-a` সমীকরণ টিকে সিদ্ধ করবে
`x` এরস্থানে `–a` বসিয়ে পাই ,
`(-a)^2+3a(-a)+k=0`
বা, `a^2-3a^2+k=0`
বা, `-2a^2+k=0`
বা, `k=2a^2`

∴ `k` এর মান `2a^2` হলে দ্বিঘাত সমীকরণটির একটি বীজ হবে `-a` ।

3. যদি `ax^2+7x+b=0` দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ `2/3` এবং `-3` হয় তবে `a` ও `b` এর মান নির্ণয় করি ।

সমাধানঃ 
যদি `ax^2+7x+b=0` দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ `2/3` এবং `-3` হয় তাহলে `2/3` এবং `-3` উভয়ই প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণটিকে সিদ্ধ করবে ।
`x` এর স্থানে `2/3` এবং `-3` বসিয়ে পাই,
`a(2/3)^2+7(2/3)+b=0`
বা, `{4a}/9+14/3+b=0`
বা, `{4a+42+9b}/9=0`
বা, `4a+9b=-42` ⋯⋯⋯⋯⋯(`i`)

এবং `a(-3)^2+7(-3)+b=0`
বা, `9a-21+b=0`
বা, `9a+b=21` ⋯⋯⋯⋯⋯(`ii`)

(`ii`) নং সমীকরণ কে 9 দ্বারা গুন করে (`i`) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,
`(4a+9b)-(81a+9b)``=-42-189`
বা, `-77a = -231`
বা, `a = -231/-77`
বা, `a = 3`
`a` এর প্রাপ্ত মান (`i`) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই
`4(3)+9b=-42`
বা, `12+9b = -42`
বা, `9b= -42-12`
বা, `9b = -54`
বা, `b= -54/9`
বা, `b = -6`

∴ `ax^2+7x+b=0` দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ `2/3` এবং `-3` হলে, `a=3` এবং `b= -6` হবে।

4.সমাধান করিঃ

(i) `3y^2-20=160-2y^2`

সমাধানঃ 
`3y^2-20=160-2y^2`
বা, `3y^2+2y^2=160+20`
বা, `5y^2=180`
বা, `y^2 = 180/5`
বা, `y^2 = 36`
বা, `y= ±\sqrt36`
বা, `y =± 6`

∴ নির্ণেয় সমাধান `y=6` এবং `y=-6`

(ii) `(2x+1)^2+(x+1)^2``=6x+47`

সমাধানঃ 
`(2x+1)^2+(x+1)^2``=6x+47`
বা, `(2x)^2+2(2x)1+(1)^2+(x)^2+2x+(1)^2``=6x+47`
বা, `4x^2+4x+1 + x^2+2x+1``=6x+47`
বা, `5x^2+6x+2``=6x+47`
বা, `5x^2+6x+2-6x-47=0`
বা, `5x^2-45 =0`
বা, `5x^2=45`
বা, `x^2=45/5`
বা, `x^2=9`
বা, `x=±sqrt9`
বা, `x = ±3`

∴ নির্ণেয় সমাধান `x=3` এবং `x=-3`

(iii) `(x-7)(x-9)=195`

সমাধানঃ 
`(x-7)(x-9)=195`
বা, `x(x-9)-7(x-9)=195`
বা, `x^2-9x-7x+63=195`
বা, `x^2-16x+63-195=0`
বা, `x^2-16x-132=0`
বা, `x^2-(22-6)x-132=0`
বা, `x^2-22x+6x-132=0`
বা, `x(x-22)+6(x-22)=0`
বা, `(x-22)(x+6)=0`

দুটি রাশির গুনফল শূন্য

সুতারাং, হয় `(x-22)=0`
∴ `x=22`

অথবা , `(x+6)=0`
∴ `x=-6`

∴ নির্ণেয় সমাধান `x= 22` এবং `x= -6`

(iv) `3x-24/x=x/3`

সমাধানঃ 
`3x-24/x=x/3`
বা, `{3x^2-24}/x=x/3`
বা, `3{3x^2-24}=x^2`
বা, `9x^2-72=x^2`
বা, `9x^2-x^2=72`
বা, `8x^2=72`
বা, `x^2=72/2`
বা, `x^2=9`
বা, `x=±sqrt9`
বা, `x=±3`

∴ নির্ণেয় সমাধান `x=3` এবং `x=-3`

(v) `x/3+3/x=15/x`

সমাধানঃ 
`x/3+3/x=15/x`
বা, `{x^2+9}/3x=15/x`
বা, `x(x^2+9)=45x`
বা, `x^2+9=45`
বা, `x^2=45-9`
বা, `x^2=36`
বা, `x=±sqrt36`
বা, `x=±6`
∴ নির্ণেয় সমাধান `x=6` এবং `x=-6`

(vi) `10x-1/x=3`

সমাধানঃ 
`10x-1/x=3`
বা, `{10x^2-1}/x=3`
বা, `10x^2-1=3x`
বা, `10x^2-3x-1=0`
বা, `10x^2-5x+2x-1=0`
বা, `5x(2x-1)+1(2x-1)=0`
বা, `(5x+1)(2x-1)=0`

দুটি রাশির গুনফল শূন্য
সুতারাং, হয় `(2x-1)=0`
বা, `2x=1`
বা, `x=1/2`

অথবা `(5x+1)=0`
∴ `5x= -1`
বা, `x= -1/5`
∴ নির্ণেয় সমাধান `x=1/2` এবং `x= -1/5`

(vii) `2/{2x^2}-5/x+2=0` , `[x≠0]`

সমাধানঃ 
`2/{2x^2}-5/x+2=0`
বা, `{2-5x+2x^2}/x^2=0`
বা, `2-5x+2x^2=0`
বা, `2x^2-5x+2=0`
বা, `2x^2-4x-x+2=0`
বা, `2x(x-2)-1(x-2)=0`
বা, `(2x-1)(x-2)=0`

দুটি রাশির গুনফল শূন্য
সুতারাং, হয় `(x-2)=0`
∴ `x=2`

অথবা `(2x-1)=0`
∴ `2x=1`
বা, `x= 1/2`
∴ নির্ণেয় সমাধান `x=2` এবং `x=1/2` ।

(viii) `{(x-2)}/{(x+2)}+6({x-2}/{x-6})=1`

সমাধানঃ 
`{(x-2)}/{(x+2)}+6({x-2}/{x-6})=1`
বা, `{(x-2)(x-6)+(6x-12)(x+2)}/{(x+2)(x-6)}=1`
বা, `{x(x-6)-2(x-6)+6x(x+2)-12(x+2)}/{(x+2)(x-6)}``=1`
বা, `{x^2-6x-2x-12+6x^2+12-12x+24}/{x(x-6)+2(x-6)}=1`
বা, `{7x^2-8x-12}/{x^2-6x+2x-12}=1`
বা, `7x^2-8x-12=x^2-4x-12`
বা, `7x^2-8x-12-x^2+4x+12=0`
বা, `6x^2-4x=0`
বা, `2x(3x-2x)=0`
বা, `x(3x-2x)=0`

দুটি রাশির গুনফল শূন্য
সুতারাং, হয় `x=0`
অথবা `(3x-2)=0`
বা, `3x=2`
বা, `x=2/3`
∴ নির্ণেয় সমাধান `x=0` এবং `x=2/3`

(ix) `1/{x-3}-1/{x+5}=1/6` , `[x≠3 , -5]`

সমাধানঃ 
`1/{x-3}-1/{x+5}=1/6`
বা, `{(x+5)-(x-3)}/{(x-3)(x+5)}=1/6`
বা, `{x+5-x+3)/{x(x+5)-3(x+5)}=1/6`
বা, `8/{x^2+5x-3x-15}=1/6`
বা, `x^2+5x-3x-15=48`
বা, `x^2+2x-15-48=0`
বা, `x^2+2x-63=0`
বা, `x^2+9x-7x-63=0`
বা, `x(x+9)-7(x+9)=0`
বা, `(x-7)(x+9)=0`

দুটি রাশির গুনফল শূন্য
হয় `(x+9)=0`
∴ `x= -9`
অথবা `(x-7)=0`
∴ `x=7`
∴ নির্ণেয় সমাধান `x=-9` এবং `x=7`

(x) `x/{x+1}+{x+1}/x=2\frac1{12}`, `[x≠0,-1]`

সমাধানঃ 
`x/{x+1}+{x+1}/x=2\frac1{12}`
বা, `{x^2+(x+1)^2}/{x(x+1)}=25/12`
বা, `{x^2+x^2+2.x.1+1^2}/{x^2+x}=25/12`
বা, `{2x^2+2x+1^2}/{x^2+x}=25/12`
বা, `12(2x^2+2x+1^2)=25(x^2+x)`
বা, `24x^2+24x+12=25x^2+25x`
বা, `24x^2-25x^2+24x-25x+12=0`
বা, `-x^2-x+12=0`
বা, `x^2+x-12=0`
বা, `x^2+4x-3x-12=0`
বা, `x(x+4)-3(x+4)=0`
বা, `(x+4)(x-3)=0`

দুটি রাশির গুনফল শূন্য
হয় `(x+4)=0`
বা, `x=-4`
অথবা `(x-3)=0`
বা, `x=3`

∴ নির্ণেয় সমাধান `x=3` এবং `x=-4`

(xi) `(ax+b)/(a+bx)=(cx+d)/(c+dx)`  `[a≠b, c≠d]`,`x≠-a/b`,`x≠-c/d`

সমাধানঃ 
বা, `(ax+b)/(a+bx)=(cx+d)/(c+dx)`
বা, `(ax+b)(c+dx)=(cx+d)(a+bx)`
বা, `ax(c+dx)+b(c+dx)=cx(a+bx)+d(a+bx)`
বা, `acx+adx^2+bc+bdx=acx+bcx^2+ad+bdx`
বা, `adx^2-bcx^2+acx+bdx-acx-bdx+bc-ad=0`
বা, `x^2(ad-bc)-(ad-bc)=0`
বা, `(x^2-1)(ad-bc)=0`
এখন দুটি রাশির গুনফল শূন্য
কিন্তু `(ad-bc)≠0` কারণ `a≠b` এবং `c≠d`
∴ `(x²-1)=0`
বা, `x² =1`
বা, `x=±√1`
∴ নির্ণেয় সমাধান `x=1` এবং `x=-1`

(xii) `(2x+1)+3/(2x+1)=4`,  `x≠-1/2`

সমাধানঃ 
বা, `(2x+1)+3/(2x+1)=4`
বা, `{(2x+1)^2+3}/(2x+1)=4`
বা, `{(2x)^2+2.2x.1+1^2+}/(2x+1)=4`
বা, `4x^2+4x+1+3=8x+4`
বা, `4x^2+4x-8x-4+4=0`
বা, `4x^2-4x=0`
বা, `4x(x-1)=0`
বা, `x(x-1)=0`
দুটি রাশির গুনফল শূন্য
হয় `x=0`
অথবা `(x-1)=0`
বা, `x=1`
∴ নির্ণেয় সমাধান `x=0` এবং `x= 1`

(xiii) `(x+1)/2+2/(x+1)=(x+1)/3+3/(x+1)-5/6`,   `x≠-1`

সমাধানঃ 
বা, `(x+1)/2+2/(x+1)=(x+1)/3+3/(x+1)-5/6`
বা, `(x+1)/2+2/(x+1)-(x+1)/3-3/(x+1)=-5/6`
বা, `(x+1)/2-(x+1)/3+2/(x+1)-3/(x+1)=-5/6`
বা, `{3(x+1)-2(x+1)}/6+(2-3)/(x+1)=-5/6`
বা, `(3x+3-2x-2)/6+(-1)/(x+1)=-5/6`
বা, `(3x+3-2x-2)/6+(-1)/(x+1)=-5/6`
বা, `(x+1)/6-1/(x+1)=-5/6`
বা, `(x+1)^2-6/6(x+1)=-5/6`
বা, `(x+1)^2-6/(x+1)=-5`
বা, `(x^2+2.x.1+1^2-6)/(x+1)=-5`
বা, `x^2+2x+1-6=-5(x+1)`
বা, `x^2+2x-5=-5x-5`
বা, `x^2+2x-5+5x+5=0`
বা, `x^2+7x=0`
বা, `x(x+7)=0`
দুটি রাশির গুনফল শূন্য
হয় `x=0`
অথবা `(x+7)=0`
বা, `x=-7`
∴ নির্ণেয় সমাধান `x=0` এবং `x=-7`

দুটি রাশির গুনফল শূন্য
হয়, `(9x+68)=0`
বা, `9x=-68`
বা, `x=-68/9`
অথবা, `(x-3)=0`
বা, `x=3`
∴ নির্ণেয় সমাধান `x=3` এবং `x= -68/9`

(xv) `(x+3)/(x-3)+6(x-3)(x+3)=5`,   `(x≠3,-3)`

সমাধানঃ 
`(x+3)/(x-3)+6(x-3)(x+3)=5`
ধরি, `(x+3)/(x-3)=a`
∴ `(x-3)(x+3)=1/a`
সুতারাং সমীকরণটি হয়,
`a+6/a=5`
বা, `(a^2+6)/a=5`
বা, `a^2+6=5a`
বা, `a^2-5a+6=0`
বা, `a^2-5a+6=0`
বা, `a^2-3a-2a+6=0`
বা, `a(a-3)-2(a-3)=0`
বা, `(a-2)(a-3)=0`

দুটি রাশির গুনফল শূন্য
হয় `(a-3)=0`
বা, `a=3`
অথবা, `(a-2)=0`
বা, `a=2`

যখন, `a=3`
∴ `(x+3)/(x-3)=3`
বা, `(x+3)=3(x-3)`
বা, `x+3=3x-9`
বা, `x+3-3x+9=0`
বা, `-2x+12=0`
বা, `-2(x+6)=0`
বা, `x=-6`

যখন, `a=2`
∴ `(x+3)/(x-3)=2`
বা, `(x+3)=2(x-3)`
বা, `x+3=2x-6`
বা, `x+3-2x+6=0`
বা, `-x+9=0`
বা, `x=9`
∴ নির্ণেয় সমাধান `x=6` এবং `x= 9`

দুটি রাশির গুনফল শূন্য
হয়, `(x+a)=0`
বা, `x= -a`
অথবা, `(x+b)=0`
বা, `x= -b`
∴ নির্ণেয় সমাধান `x=-a` এবং `x=-b`

(xvii) `((x+a)/(x-a))^2-5((x+a)/(x-a))+6=0`,    `(x≠a)`

সমাধানঃ 
`((x+a)/(x-a))^2-5((x+a)/(x-a))+6=0`
ধরি, `(x+a)/(x-a)=m`
সুতারাং সমীকরণটি হয়,
`m^2-5m+6=0`
বা, `m^2-3m-2m+6=0`
বা, `m(m-3)-2(m-3)=0`
বা, `(m-2)(m-3)=0`
দুটি রাশির গুনফল শূন্য
হয়, `(m-3)=0`
বা, `m=3`

অথবা, `(m-2)=0`
বা, `m=2`

যখন, `m=3`
∴ `(x+a)/(x-a)=3`
`x+a=3(x-a)`
`x+a=3x-3a`
`x-3x=-3a-a`
`-2x=-4a`
`x=2a`

যখন, `m=2`
∴ `(x+a)/(x-a)=2`
`x+a=2(x-a)`
`x+a=2x-2a`
`x-2x=-2a-a`
`-x=-3a`
`x=3a`

∴ নির্ণেয় সমাধান `x=2a` এবং `x=3a`

(xviii) `1/x-1/(x+b)=1/a-1/(a+b)`,    `(x≠a,-b)`

সমাধানঃ 
`1/x-1/(x+b)=1/a-1/(a+b)`
বা, `(x+b-x)/(x(x+b))=(a+b-a)/(a(a+b))`
বা, `b/(x(x+b))=b/(a(a+b))`
বা, `x(x+b)=a(a+b)`
বা, `x^2+bx=a^2+ab`
বা, `x^2+bx-a^2-ab=0`
বা, `x^2-a^2+bx-ab=0`
বা, `(x+a)(x-a)+b(x-a)=0`
বা, `(x-a)(x+a+b)=0`

দুটি রাশির গুনফল শূন্য
হয়, `(x-a)=0`
বা, `x=a`

অথবা, `(x+a+b)=0`
বা, `x=-(a+b)`
∴ নির্ণেয় সমাধান `x=a` এবং `x=-(a+b)`

দুটি রাশির গুনফল শূন্য
হয়, `(x-7)=0`
বা, `x=7`

অথবা, `(x+2)=0`
বা, `x=-2`
∴ নির্ণেয় সমাধান `x=7` এবং `x=-2`

(xx) `a/(x-a)+b/(x-b)=(2c)/(x-c)`,`(x≠a,b,c)`

সমাধানঃ 
`a/(x-a)+b/(x-b)=(2c)/(x-c)`
বা, `a/(x-a)+1+b/(x-b)+1=(2c)/(x-c)+2`
বা, `(a+x-a)/(x-a)+(b+x-b)/(x-b)=(2c+2x-2c)/(x-c)`
বা, `x/(x-a)+x/(x-b)=2x/(x-c)`
বা, `x/(x-a)+x/(x-b)-2x/(x-c)=0`
বা, `x[1/(x-a)+1/(x-b)-2/(x-c)]=0`

দুটি রাশির গুনফল শূন্য
হয়, `x=0`

অথবা, `[1/(x-a)+1/(x-b)-2/(x-c)]=0`
বা, `((x-b)(x-c)+(x-a)(x-c)+(x-a)(x-b))/((x-a)(x-b)(x-c))=0`
বা, `x^2-bx-cx+bc+x^2-ax-cx+ac``+2x^2+2ax+2bx-2ab=0`
বা, `ax+bx-2cx+bc+ac-2ab=0`
বা, `x(a+b-2c)=2ab-bc-ac`
বা, `x=(2ab+bc+ac)/(a+b-2c)`

∴ নির্ণেয় সমাধান `x=0` এবং `x=(2ab-bc-ac)/(a+b-2c)`

(xxi) `x^2-(sqrt3+2)x+2sqrt3=0`

সমাধানঃ 
বা, `x^2-(sqrt3+2)x+2sqrt3=0`
বা, `x^2-sqrt3.x-2x+2sqrt3=0`
বা, `x(x-sqrt3)-2(x-sqrt3)=0`
বা, `(x-2)(x-sqrt3)=0`

দুটি রাশির গুনফল শূন্য
হয়, `x-2=0`
বা, `x=2`

অথবা, `(x-sqrt3)=0` বা, `x=sqrt3`

∴ নির্ণেয় সমাধান `x=2` এবং `x=sqrt3`