অধ্যায় ০১ | কষে দেখি ১.৪ | একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ

দশম শ্রেণীর গণিত বই এর অধ্যায় ০১ এর কষে দেখি ১.৪ এর সমস্ত সমাধান করে দেওয়া হল। দ্বিঘাত সমীকরণ কষে দেখি ১.৪ | Dighat Somikoron Koshe Dekhi 1.4 Solution

কষে দেখি

1.4

1. (i) `4x²+(2x-1)(2x+1)``= 4x(2x-1)`
এই সমীকরণটির সমাধানে শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করা সম্ভব কিনা বুঝে লিখি ।

সমাধানঃ 
`4x²+(2x-1)(2x+1)``= 4x(2x-1)`
বা, `4x²+ (2x)²- (1)²= 8x²-4x`
বা, `4x² + 4x²-1 = 8x²-4x`
বা, `8x² -1 = 8x² -4x`
বা, `4x-1=0`
∴ প্রদত্ত সমীকরণ টি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ নয় সুতরাং সমীকরণটিতে শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করা সম্ভব নয় ।

(ii) শ্রীধর আচার্যের সুত্রের সাহায্যে আমরা কোন ধরনের সমীকরণের সমাধান করতে পারি ?

উত্তরঃ 
একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ ।

(iii) `5x²+2x-7=0` সমীকরণে শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে `x=(k±12)/10` পাওয়া গেলে `k` এর মান কত হবে ?

সমাধানঃ 
প্রদত্ত সমীকরণ টি হল, `5x²+2x-7=0`
প্রদত্ত সমীকরণ টিকে `ax²+bx+c=0` সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,
`a= 5` , `b= 2` এবং `c=-7`
শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে পাই,
`x=(-b±sqrt(b^2-4ac))/(2a)`
বা, `x=(-2±sqrt(2^2-4×5×(-7)))/(2×5)`
বা, `x=(-2±sqrt(4+140))/10`
বা, `x=(-2±sqrt(144))/10`
বা, `x=(-2±12)/10`

∴ `(k±12)/10``=(-2±12)/10`
∴ `k=-2`

2. নিচের দ্বিঘাত সমীকরণ গুলির বাস্তব বীজ থাকলে শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে সমাধান করো।

(i) `3x^2+11x-4=0`

সমাধানঃ 
`3x^2+11x-4=0`
প্রদত্ত সমীকরণ টিকে `ax^2+bx+c=0` সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই ,
`a= 3` , `b = 11` এবং `c=-4`
এখন ,
নিরূপক `= b^2-4ac``= (11)^2-4(3)(-4)``= 22+48 = 70 > 0`
∴ সমীকরণটির বাস্তব বীজ আছে ।
শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে পাই ,
`x=(-b±sqrt(b^2-4ac))/(2a)`
বা, `x=(-11±sqrt(11^2-4×3×(-4)))/(2×3)`
বা, `x=(-11±sqrt(121+48))/6`
বা, `x=(-11±sqrt(169))/6`
বা, `x=(-11±13)/6`
∴ `x=(-11-13)/6`
বা, `x=(-24)/6`
বা, `x=-4`
এবং, `x=(-11+13)/6`
বা, `x=(2)/6`
বা, `x=1/3`
নির্ণেয় সমাধান `x = 1/3` এবং `x= -4`

(ii) `(x-2)(x+4)+9=0`

সমাধানঃ 
`(x-2)(x+4)+9=0`
বা, `x(x+4)-2(x+4)+9=0`
বা, `x^2-2x+4x-8+9=0`
বা, `x^2+2x+1=0`
সমীকরণটিকে `ax^2+bx+c=0` সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই ,
`a = 1` , `b = 2` এবং `c = 1`
নিরূপক`= b^2-4ac``= (2)^2-4(1)(1)``= 4-4=0`
∴ প্রদত্ত সমীকরণটির বাস্তব বীজ আছে এবং তারা সমান।
এখন শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে সমাধান করে পাই ,
`x=(-b±sqrt(b^2-4ac))/(2a)`
বা, `x=(-2±sqrt(2^2-4×1×1))/(2×1)`
বা, `x=(-2±sqrt(4-4))/2`
বা, `x=(-2±sqrt(0))/2`
বা, `x=(-2±0)/2`
∴ `x=(-2-0)/2`
বা, `x=-2/2`
বা, `x=-1`
এবং, `x=(-2+0)/2`
বা, `x=(-2)/2`
বা, `x=-1`
নির্ণেয় সমাধান `x = -1`

(iii) `(4x-3)^2 – 2(x+3)=0`

সমাধানঃ 
`(4x-3)^2 – 2(x+3)=0`
বা, `(4x)^2 -2 (4x) (3)+(3)^2 -2x -6=0`
বা, `16x^2-24x+9-2x-6=0`
বা, `16x^2 -26x+3=0`
সমীকরণ টিকে `ax^2+bx+c=0` সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই ,
`a = 16 , b= -26 , c = 3`
নিরূপক`= b^2-4ac``= (-26)^2 – 4(16)(3)``= 676-192=484 > 0`
∴ প্রদত্ত সমীকরণের বীজ গুলি বাস্তব ।
শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে পাই ,
`x=(-b±sqrt(b^2-4ac))/(2a)`
বা, `x=(-(-26)±sqrt((-26)^2-4×16×(3)))/(2×16)`
বা, `x=(26±sqrt(676-192))/32`
বা, `x=(26±sqrt(484))/32`
বা, `x=(26±22)/32`
∴ `x=(26-22)/32`
বা, `x=4/32`
বা, `x=1/8`
এবং, `x=(26+22)/32`
বা, `x=48/32`
বা, `x=3/2`
বা, `x=1(1)/2`
নির্ণেয় সমাধান `x = 1/8` এবং `x= 1(1)/2`

(iv) `3x^2 +2x-1 =0`

সমাধানঃ 
`3x^2 +2x-1 =0`
সমীকরণ টিকে `ax^2+bx+c=0` সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই ,
`a = 3` , `b= 2` এবং `c = -1`
নিরূপক`= b^2-4ac``= (2)^2 – 4 (3)(-1)``= 4+12=16 > 0`
∴ প্রদত্ত সমীকরণটির বীজগুলি বাস্তব ।
এখন শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে পাই ,
`x=(-b±sqrt(b^2-4ac))/(2a)`
বা, `x=(-2±sqrt(2^2-4×3×(-1)))/(2×3)`
বা, `x=(-2±sqrt(4+12))/6`
বা, `x=(-2±sqrt(16))/6`
বা, `x=(-2±4)/6`
∴ `x=(-2-4)/6`
বা, `x=-6/6`
বা, `x=-1`
এবং, `x=(-2+4)/6`
বা, `x=2/6`
বা, `x=1/3`
নির্ণেয় সমাধান `x = -1` এবং `x= 1/3`

(v) `3x2 +2x+1=0`

সমাধানঃ 
`3x^2 +2x+1=0`
প্রদত্ত সমীকরণটিকে `ax^2+bx+c=0` সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই ,
`a = 3` , `b = 2` এবং `c = 1`
নিরূপক `= b2 – 4ac``= (2)2 – 4(3)(1)``= 4-12 = -8 < 0`
সুতরাং প্রদত্ত সমীকরণটির কোনও বাস্তব বীজ নেই

(vi) `10x^2 –x -3 =0`

সমাধানঃ 
`10x^2 –x -3 =0`
প্রদত্ত সমীকরণটিকে `ax^2+bx+c=0` সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,
, `a = 10`,`b = -1` , `c = -3`
নিরূপক `= b^2 – 4ac``= (-1)^2 – 4(10)(-3)``= 1+120 =121 > 0`
∴ প্রদত্ত সমীকরণের বীজগুলি বাস্তব ।
শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে পাই ,
`x=(-b±sqrt(b^2-4ac))/(2a)`
বা, `x=(-(-1)±sqrt(-1^2-4×10×(-3)))/(2×10)`
বা, `x=(1±sqrt(1+120))/20`
বা, `x=(1±sqrt(121))/20`
বা, `x=(1±11)/20`
∴ `x=(1-11)/20`
বা, `x=-10/20`
বা, `x=-1/2`
এবং, `x=(1+11)/20`
বা, `x=12/20`
বা, `x=3/5`
নির্ণেয় সমাধান `x = -1/2` এবং `x= 3/5`

(vii) `10x^2 –x +3 =0`

সমাধানঃ 
`10x^2 –x +3 =0`
প্রদত্ত সমীকরণটিকে `ax^2+bx+c=0` সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই ,
`a = 10` , `b = -1` , `c = 3`
নিরূপক`= b2 – 4ac``= (-1) 2 – 4 (10)(3)``= 1 -120``= – 119 < 0`
∴ সমীকরণের বীজগুলি কাল্পনিক ।

(viii) `25x^2 -30x +7 =0`

সমাধানঃ 
`25x^2 -30x +7 =0`
প্রদত্ত সমীকরণটিকে `ax^2+bx+c=0` সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই ,
`a = 25` , `b = -30` এবং `c = 7`
নিরূপক `= b^2 – 4ac``= (-30)^2 – 4(25)(7)``= 900-700=200 >0`
∴ সমীকরণটির বীজগুলি বাস্তব ।
শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে পাই ,
`x=(-b±sqrt(b^2-4ac))/(2a)`
বা, `x=(-(-30)±sqrt((-30)^2-4×25×7))/(2×25)`
বা, `x=(30±sqrt(900-700))/50`
বা, `x=(30±sqrt(200))/50`
বা, `x=(30±10sqrt2)/50`
∴ `x=(10(3+sqrt2))/50`
বা, `x=(3+sqrt2)/5`
এবং, `x=(3-sqrt2)/5`
নির্ণেয় সমাধান `x = (3+sqrt2)/5` এবং `x= (3-sqrt2)/5`

(ix) `(4x-2)^2+6x =25`

সমাধানঃ 
`(4x-2)^2+6x =25`
বা, `(4x)^2 – 2 (4x) (2) + (2)^ 2 +6x-25=0`
বা, `16x^2 -16x +4 +6x -25=0`
বা, `16x^2 -10x -21 =0`
সমীকরণটিকে `ax^2+bx+c=0` সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই ,
`a= 16` , `b = -10` , `c = -21`
নিরূপক `= b^2 – 4ac``= (-10)^2 – 4 (16) (-21)``= 100 + 1344``=1444 > 0`
∴ সমীকরণটির বীজগুলি বাস্তব
শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে পাই ,
`x=(-b±sqrt(b^2-4ac))/(2a)`
বা, `x=(-(-10)±sqrt(-10^2-4×16×(-21)))/(2×16)`
বা, `x=(10±sqrt(100+1344))/32`
বা, `x=(10±sqrt(1444))/32`
বা, `x=(10±38)/32`
∴ `x=(10+38)/32`
বা, `x=48/32`
বা, `x=3/2=1(1/2)`
এবং, `x=(10-38)/32`
বা, `x=-28/32`
বা, `x=-7/8`
নির্ণেয় সমাধান `x = 1(1/2)` এবং `x= -7/8`

3. নিচের গানিতিক সমস্যা গুলি একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণে প্রকাশ করি এবং শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে বা উৎপাদকের সাহায্যে সমাধান করিঃ

(i) সাথি একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন করেছে যার অতিভুজের দৈর্ঘ্য ক্ষুদ্রতম বাহুর দ্বিগুন অপেক্ষা `6` সেন্টিমিটার বেশি । যদি তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য অতিভুজের দৈর্ঘ্য এর থেকে `2` সেন্টিমিটার কম হয় তবে সাথির আঁকা সমকোণী ত্রিভুজের বাহু তিনটির দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ 
ধরি , সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষুদ্রতম বাহুর দৈর্ঘ্য `x` সেন্টিমিটার ।
∴ অতিভুজের দৈর্ঘ্য `= (2x+6)` সেন্টিমিটার ।
এবং তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য `= {(2x+6)-2}``= (2x+4)` সেন্টিমিটার ।
সমকোণী ত্রিভুজতির ক্ষেত্রে পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই ,
`(2x+6)^2``= x^2 + (2x+4)^2`
বা, `(2x)^2+ 2 (2x) (6) + (6)^2``= x^2 + (2x)^2+ 2 (2x) (4) + (4)^2`
বা, `4x^2+24x+36``= x^2+4x^2+16x+16`
বা, `4x^2 +24x +36``= 5x^2+16x+16`
বা, `4x^2 +24x +36 -5x^2 -16x -16=0`
বা, `-x^2+8x +20=0`
বা, `x^2-8x-20=0`
বা, `x^2 -10x +2x -20=0`
বা, `x(x-10)+2(x-10)=0`
বা, `(x-10)(x+2)=0`
দুটি রাশির গুনফল শূন্য
∴ হয় `(x-10)=0`
বা, `x= 10`
অথবা , `(x+2)=0`
বা, `x = -2`
ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হওয়া অসম্ভব ।
∴ `x= 10`
অতিভুজের দৈর্ঘ্য `= 2x+6 = 26`
তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য `= 2x+4 = 24`
সুতরাং ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে `10` সেন্টিমিটার , `24` সেন্টিমিটার এবং `26` সেন্টিমিটার ।

(ii) যদি দুই অঙ্কের দুটি ধনাত্মক সংখ্যা সংখ্যাকে উহার এককের ঘরের অঙ্ক দিয়ে গুন করলে গুনফল `189` হয় এবং দশকের ঘরের অঙ্ক এককের ঘরের অঙ্কের দ্বিগুণ হয় । তবে এককের ঘরের অঙ্কটি নির্ণয় করো ।

সমাধানঃ 
ধরি , এককের ঘরের অঙ্কটি হলও `x` ।
যেহেতু দশকের ঘরের অঙ্ক এককের ঘরের অঙ্কটির দ্বিগুন ,
∴দশকের ঘরের অঙ্কটি হবে `= 2x`
∴ সংখ্যাটি হবে `= 10(2x) + x``=21x`
শর্তানুসারে ,
`21x^2 = 189`
বা, `x^2 = 189/21`
বা, `x^2 = 9`
বা, `x^2 -9=0`
বা, `x^2-(3)^2=0`
বা, `(x+3)(x-3)=0`
দুটি রাশির গুনফল শূন্য ।
হয়, `(x+3)=0`
বা, `x = -3`
অথবা , `(x-3)=0`
বা, `x=3`
যেহেতু সংখ্যা টি ধনাত্মক ,
এক্ষেত্রে `x` এর মান ঋণাত্মক হতে পারে না
∴ `x =3`
∴ এককের ঘরের অঙ্কটি হলও `3` ।

(iii) সালমার গতিবেক অনিকের গতিবেগের থেকে `1` মিটার / সেকেন্ড বেশি । `180` মিটার দৌড়াতে গিয়ে সালমা অনিকের থেকে `2` সেকেন্ড আগে পৌছায়ে । অনিকের গতিবেগ প্রতি সেকেন্ড এ কত মিটার হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ 
ধরি , অনিকের গতিবেগ `x` মিটার / সেকেন্ড ।
যেহেতু সালমার গতিবেগ অনিকের গতিবেগের থেকে `1` মিটার / সেকেন্ড বেশি ,
∴ সালমার গতিবেগ `(x+1)` মিটার / সেকেন্ড
এখন `180` মিটার দৌড়াতে সালমার সময় লাগে
`=` দূরত্ব/গতিবেগ `= 180/(x+1)` সেকেন্ড।
আবার, `180` মিটার দৌড়াতে অনিকের সময় লাগে
`=` দূরত্ব/গতিবেগ `= 180/x` সেকেন্ড।
শর্তানুসারে,
`180/x-180/(x+1)=2`
বা, `(180(x+1)-180x)/(x(x+1))=2`
বা, `(180x+180-180x)/(x^2+x)=2`
বা, `180/(x^2+x)=2`
বা, `180=2x^2+2x`
বা, `2x^2+2x-180=0`
বা, `x^2+x-90=0` (উভয় পক্ষকে `2` দ্বারা ভাগ করে পাই)
বা, `x^2+(10-9)x-90=0`
বা, `x^2+10x-9x-90=0`
বা, `x(x+10)-9(x-10)=0`
বা, `(x-10)(x-9)=0`
দুটি রাশির গুনফল শূন্য
∴ হয় `(x+10)=0`
বা, `x = -10`
অথবা, `(x – 9)=0`
বা, `x = 9`
এক্ষেত্রে গতিবেগের মান ঋণাত্মক হতে পারে না
∴ `x = 9`
∴ অনিকের গতিবেগ `= 9` মিটার / সেকেন্ড ।

(iv) আমাদের পাড়ায় একটি বর্গ ক্ষেত্রাকার পার্ক আছে । ওই পার্কের একটি বাহুর দৈর্ঘ্যের চেয়ে 5 মিটার বেশি দৈর্ঘ্য বিশিষ্ট ও ওই পার্কের বাহুর দৈর্ঘ্য থেকে 3 মিটার কম প্রস্থ বিশিষ্ট একটি আয়তক্ষেত্র কার পার্কের ক্ষেত্রফল ঐ বর্গ ক্ষেত্রাকার পার্কের ক্ষেত্রফলের দ্বিগুণ অপেক্ষা 78 বর্গ মিটার কম হলে বর্গক্ষেত্র কার পার্কের বাহুর দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ 
ধরি , বর্গক্ষেত্র কার পার্কের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য `x` মিটার ।
∴ বর্গক্ষেত্রকার পার্কের ক্ষেত্রফল `x^2` বর্গমিটার ।
∴ আয়তক্ষেত্রাকার পার্কের দৈর্ঘ্য `(x+5)` মিটার এবং আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ `(x -3)` মিটার ।
∴ আয়তক্ষেত্রাকার পার্কের ক্ষেত্রফল `(x+5)(x-3)` বর্গমিটার ।
যেহেতু আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল বর্গ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের দ্বিগুণ অপেক্ষা `78` বর্গ মিটার কম ,
শর্তানুসারে,
`(x+5)(x-3) = 2x^2-78`
বা, `x(x-3)+5(x-3)=2x^2-78`
বা, `x^2-3x+5x-15=2x^2-78`
বা, `x^2-2x^2-3x+5x-15+78=0`
বা, `-x^2+2x+63=0`
বা, `x^2-2x-63=0` (উভয় পক্ষকে `-1` দ্বারা ভাগ করে পাই)
বা, `x^2-(9-7)x-63=0`
বা, `x^2-9x+7x-63=0`
বা, `x(x-9)+7(x-9)=0`
বা, `(x-9)(x+7)=0`
দুটি রাশির গুনফল শূন্য
∴ হয় `(x-9)=0`
বা, `x = 9`
অথবা, `(x+7)=0`
বা, `x = -7`
যেহেতু বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারেনা ,
∴ `x = 9`
অর্থাৎ বর্গ ক্ষেত্রের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য `9` মিটার ।

(v) আমাদের গ্রামে প্রলয়বাবু তার আয়তক্ষেত্রাকার জমিতে লাগানোর জন্য মোট 350 লঙ্কার চারা কিনলেন । সারি ধরে চারা গাছ লাগাতে গিয়ে দেখলেন যে প্রতি সারিতে সারির সংখ্যার থেকে 24 টি করে বেশি গাছ লাগালে আরও দশটি গাছ অতিরিক্ত থাকে । সারির সংখ্যা হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ 
ধরি , জমিতে সারির সংখ্যা `x` টি ।
মোট চারা গাছের সংখ্যা `350` টি ।
প্রতি সারিতে সারির সংখ্যা থেকে `24` করে বেশি গাছ লাগালে আরও `10` টি গাছ অতিরিক্ত থাকে ।
∴ প্রতি সারিতে গাছের সংখ্যা `= (350-10)/x`
আবার প্রতি সারিতে গাছের সংখ্যা `= (x+24)` টি ।
শর্তানুসারে ,
`(350-10)/x = (x+24)`
বা, `x(x+24) = 350-10`
বা, `x^2+24x = 340`
বা, `x^2+24x-340 = 0`
বা, `x^2+(34-10)x-340 = 0`
বা, `x^2+34x-10x-340 = 0`
বা, `x(x+34)-10(x-34) = 0`
বা, `(x+34)(x-10) = 0`
দুটি রাশির গুনফল শূন্য ,
হয় `(x+34)=0`
বা, `x = -34`
অথবা, `(x -10)=0`
বা, `x= 10`
যেহেতু সারির সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারেনা ,
∴ `x = 10`
অর্থাৎ সারির সংখ্যা `10` টি ।

(vi) জোসেফ ও কুন্তল একটি কারখানায় কাজ করে । জোসেফ একটি জিনিস তৈরি করতে কুন্তাল এর চেয়ে 5 মিনিট সময় কম নেয় । 6 ঘণ্টা কাজ করে জোশেপ কুন্তলের চেয়ে 6 টি জিনিস বেশি তৈরি করে । কুন্তল ওই একি সময় কয়টি জিনিস তৈরি করে হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ 
ধরি, একটি জিনিস তৈরি করতে কুন্তাল এর সময় লাগে `x` মিনিট ।
∴ জোসেফ এর সময় লাগে `(x-5)` মিনিট ।
কুন্তল `x` মিনিটে তৈরি করে `1` জিনিস।
`1` মিনিটে তৈরি করে `1/x` টি জিনিস।
∴ `6` ঘণ্টা `= (6×60)` মিনিট `= 360` মিনিটে তৈরি করে `360/x` টি জিনিস
আবার জসেফ,
`(x-5)` মিনিটে তৈরি করে `1` টি জিনিস
`1` মিনিটে তৈরি করে `1/(x-5)` টি জিনিস
∴ `6` ঘণ্টা `= (6×60)` মিনিট `= 360` মিনিটে তৈরি করে `360/(x-5)` টি জিনিস
শর্তানুসারে ,
`360/(x-5) - 360/x = 6`
বা, `(360x-360(x-5))/(x(x-5)) = 6`
বা, `(360(x-x+5))/(x^2-5x) = 6`
বা, `(360×5)/(x^2-5x) = 6`
বা, `360×5 = 6(x^2-5x)`
বা, `1800 = 6x^2-30x`
বা, `6x^2-30x-1800 = 0`
বা, `x^2-5x-300 = 0` (উভয় পক্ষকে `6` দ্বারা ভাগ করে পাই)
বা, `x^2-(20-15)x-300 = 0`
বা, `x^2-20x+15x-300 = 0`
বা, `x(x-20)+15(x-20) = 0`
বা, `(x+15)(x-20) = 0`
দুটি রাশির গুনফল শূন্য ,
হয় `(x-20)=0`
বা, `x=20`
অথবা, `(x+15)=0`
বা, `x = -15`
যেহেতু সময় ঋণাত্মক হতে পারে না ,
∴ এক্ষেত্রে `x = 20`
সুতরাং `1` টি জিনিস তৈরি করতে কুন্তলের সময় লাগে `20` মিনিট ।
∴ কুন্তল ওই সময় অর্থাৎ `6` ঘণ্টায়ে তৈরি করবে `360/x = 360/20 = 18` টি জিনিস ।

(vii) স্থির জলে একটি নৌকার গতিবেগ 8 কিমি প্রতি ঘন্টা । নৌকাটি 5 ঘণ্টায় স্রোতের অনুকূলে 15 কিমি এবং স্রোতের প্রতিকূলে 22 কিমি গেলে স্রোতের বেগ কত ছিল হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ 
ধরি ,স্রোতের গতিবেগ `x` কিমি /ঘন্টা ।
স্থির জলে নৌকার গতিবেগ `8` কিমি / ঘন্টা ।
∴ স্রোতের অনুকূলে নৌকার গতিবেগ `(8+x)` কিমি/ ঘণ্টা ।
এবং স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার গতিবেগ `(8-x)` কিমি/ঘন্ট।
অর্থাৎ স্রোতের অনুকুলে 15 কিমি যেতে সময় লাগবে
= দূরত্ব/গতিবেগ = 15/(8+x) ঘণ্টা।
এবং, স্রোতের প্রতিকুলে 22 কিমি যেতে সময় লাগবে
= দূরত্ব/গতিবেগ = 22/(8-x) ঘণ্টা।
শর্তানুসারে ,
`15/(8+x)+22/(8-x)=5`
বা, `(15(8-x)+22(8+x))/((8+x)(8-x))=5`
বা, `(120-15x+176+22x)/(8^2-x^2)=5` `[∵ (a+b)(a-b)=a^2-b^2]`
বা, `(120-15x+176+22x)/(64-x^2)=5`
বা, `(296+7x)/(64-x^2)=5`
বা, `296+7x=5(64-x^2)`
বা, `296+7x=320-5x^2`
বা, `5x^2+7x-320+296=0`
বা, `5x^2+7x-24=0`
বা, `5x^2+(15-8)x-24=0`
বা, `5x^2+15x-8x-24=0`
বা, `5x(x+3)-8(x+3)=0`
বা, `(5x-8)(x+3)=0`
দুটি রাশির গুনফল শূন্য ,
হয়,
`(5x-8)=0`
বা, `5x=8`
বা, `x=8/5`
বা, `x=1\3/5`
অথবা,
`(x+3)=0`
বা, `x=-3`
গতিবেগ এক্ষেত্রে ঋণাত্মক হতে পারে না।
∴ `x=1\3/5`
অর্থাৎ স্রোতের বেগ `= 1\3/5` কিমি / ঘণ্টা ।

(viii) একটি সুপারফাস্ট ট্রেন একটি এক্সপ্রেস ট্রেনের থেকে ঘন্টায় `15` কিমি বেশি বেগে যায় ।একই সঙ্গে একটি স্টেশন থেকে ছেড়ে `180` কিমি দূরে অন্য একটি স্টেশনে সুপারফাস্ট ট্রেন টি `1` ঘন্টা আগে পৌঁছালো । সুপারফাস্ট ট্রেনটির গতিবেগ ঘন্টায় কত কিমি ছিল হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ 
ধরি , সুপারফাস্ট ট্রেনটির গতিবেগ `x` কিমি প্রতি ঘন্টা ।
∴ এক্সপ্রেস ট্রেনের গতিবেগ `(x-15)` কিমি প্রতি ঘন্টা ।
`180` কিমি যেতে সুপের ফাস্ট ট্রেনের সময় লাগবে
= দূরত্ব/ গতিবেগ = `180/x` ঘণ্টা।
এবং `180` কিমি যেতে এক্সপ্রেস ট্রেনের সময় লাগবে
= দূরত্ব/ গতিবেগ = `180/(x-15)` ঘণ্টা।
শর্তানুসারে,
`180/(x-15)-180/x = 1`
বা, `(180x-180(x-15))/((x-15)x) = 1`
বা, `(180x-180x+2700)/(x^2-15x) = 1`
বা, `2700/(x^2-15x) = 1`
বা, `2700 = (x^2-15x)`
বা, `x^2-15x-2700=0`
বা, `x^2-(60-45)x-2700=0`
বা, `x^2-60x+45x-2700=0`
বা, `x(x-60)+45(x-60)=0`
বা, `(x+45)(x-60)=0`
দুটি রাশির গুনফল শূন্য ,
হয় `(x-60)=0`
বা, `x =60`
অথবা `(x +45)=0`
বা, `x = -45`
এক্ষেত্রে গতিবেগ ঋণাত্মক হতে পারে না ।
`x = 60`
সুতরাং সুপারফাস্ট ট্রেনের গতিবেগ ঘণ্টায়ে `60` কিমি ।

(ix) রেহানা বাজারে গিয়ে দেখল প্রতি কিগ্রা মাছের যা দাম , ডালের দাম তা থেকে প্রতি কিগ্রা `20` টাকা কম এবং চালের দাম প্রতি কেজি `40` টাকা কম । রেহেনা `240` টাকার মাছ ও `240` টাকার ডাল কিনে মোট যে পরিমান মাছ ও ডাল পেল তা `280` টাকায় চাল কেনার পরিমানের সমান । রেহেনা প্রতি কিগ্রা মাছ কি দামে কিনেছিল হিসাব করি ।

সমাধানঃ 
ধরি, প্রতি কিগ্রা মাছের দাম x টাকা ।
অর্থাৎ ,
`x` টাকায় পাওয়া যায় `1` কেজি মাছ।
`1` টাকায় পাওয়া যায় `1/x` কেজি মাছ।
∴ `240` টাকায় পাওয়া যায় `240/x` কেজি মাছ।
আবার, প্রতি কিগ্রা ডালের দাম `(x -20)` টাকা ।
অর্থাৎ,
`(x-20)` টাকায় পাওয়া যায় `1` কেজি ডাল।
`1` টাকায় পাওয়া যায় `1/(x-20)` কেজি ডাল।
∴ `240` টাকায় পাওয়া যায় `240/(x-20)` কেজি ডাল।
এবং প্রতি কিগ্রা চালের দাম `(x-40)` টাকা ।
অর্থাৎ,
`(x-40)` টাকায় পাওয়া যায় `1` কেজি চাল।
`1` টাকায় পাওয়া যায় `1/(x-40)` কেজি চাল।
∴ `280` টাকায় পাওয়া যায় `280/(x-40)` কেজি চাল।
শর্তানুসারে,
`240/x+240/(x-20)=280/(x-40)`
বা, `(240(x-20)+240x)/(x(x-20))``=280/(x-40)`
বা, `(240x-4800+240x)/(x(x-20))``=280/(x-40)`
বা, `(480x-4800)/(x(x-20))``=280/(x-40)`
বা, `(40(12x-120))/(x(x-20))``=280/(x-40)`
বা, `(12x-120)/(x(x-20))``=7/(x-40)` (উভয় পক্ষকে `40` দ্বারা ভাগ করে পাই)
বা, `(12(x-10))/(x(x-20))``=7/(x-40)`
বা, `12(x-10)(x-40)``=7x(x-20)`
বা, `12(x^2-10x-40x+400)``=7x^2-140x`
বা, `12(x^2-50x+400)``=7x^2-140x`
বা, `12x^2-600x+4800``=7x^2-140x`
বা, `12x^2-600x+4800-7x^2+140x``=0`
বা, `5x^2-460x+4800=0`
বা, `x^2-92x+960=0` (উভয় পক্ষকে `5` দ্বারা ভাগ করে পাই)
বা, `x^2-(80+12)x+960=0`
বা, `x^2-80x-12x+960=0`
বা, `x(x-80)-12(x+80)=0`
বা, `(x-12)(x-80)=0`
দুটি রাশির গুনফল শূন্য ,
হয় `(x-80)=0`
বা, `x = 80`
অথবা `(x-12)=0`
বা, `x = 12` কিন্তু এক্ষেত্রে `x` এর মান `12` হতে পারে না,অর্থাৎ প্রতি কিগ্রা মাছের দাম `12` টাকা হতে পারে না । সুতরাং `x = 80`
∴ প্রতি কিগ্রা মাছের দাম `80` টাকা ।