অধ্যায় ০১ | কষে দেখি ১.৩ | একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ

দশম শ্রেণীর গণিত বই এর অধ্যায় ০১ এর কষে দেখি ১.৩ এর সমস্ত সমাধান করে দেওয়া হল। দ্বিঘাত সমীকরণ কষে দেখি ১.৩ | Dighat Somikoron Koshe Dekhi 1.3 Solution

কষে দেখি

1.3

1. দুটি ধনাত্মক সংখ্যার অন্তর 3 এবং তাদের বর্গের সমষ্টি 117। সংখ্যা দুটি হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ
দুটি ধনাত্মক সংখ্যার অন্তর $3$
ধরি, একটি সংখ্যা $x$
∴ অন্য সংখ্যা টি হবে $(x+3)$

শর্তানুসারে,
$x^2 +(x+3)^2=117$
বা, $x^2+x^2+2.x.3+3^2=117$
বা, $2x^2+6x+9-117=0$
বা, $2x^2+6x-108=0$
বা, $x^2+3x-54=0$
বা, $x^2+(9-6)x-54=0$
বা, $x^2+9x-6x-54=0$
বা, $x(x+9)-6(x+9)=0$
বা, $(x+9)(x-6)=0$

∴ দুটি রাশির গুনফল শূন্য
হয় $(x+9)=0$
বা, $x=-9$

অথবা $(x-6)=0$
বা, $x=6$
যেহেতু সংখ্যাটি ধনাত্মক অতএব $x$ এর ঋণাত্মক মান কে অগ্রাহ্য করে পাই
উত্তরঃ সংখ্যা দুটি হলও $6$ এবং $6+3=9$

2. একটি ত্রিভুজের ভূমি তার উচ্চতা দ্বিগুণ অপেক্ষা 18 মিটার বেশি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 300 বর্গমিটার হলে তার উচ্চতা নির্ণয় করি।

সমাধানঃ
ধরি, ত্রিভুজটির উচ্চতা $x$ মিটার ।
∴ ত্রিভুজের ভূমি $=(2x+18)$ মিটার এবং ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $360$ বর্গমিটার
শর্তানুসারে,
$1/2 × (2x+18)× x= 360$ [যেহেতু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $=1/2×$ ভূমি $×$ উচ্চতা ]
বা, $x(2x+18)=2×360$
বা, $2x^2+18x=720$
বা, $2x^2+18x-720=0$
বা, $x^2+9x-360=0$ [ উভয় পক্ষে $2$ দ্বারা ভাগ করে পাই ]
বা, $x^2+(24-15)x-360=0$
বা, $x^2+24x-15x-360=0$
বা, $x(x+24)-15(x+24)=0$
বা, $(x+24)(x-15)=0$

যেহেতু দুটি রাশির গুনফল শূন্য
হয় $(x+24)=0$
বা, $x=-24$

অথবা $(x-15)=0$
বা, $x=15$
যেহেতু ত্রিভুজের উচ্চতা ঋণাত্মক হতে পারে না
∴ $x= 15$
∴ ত্রিভুজের উচ্চতা $15$ মিটার ।

3. যদি একটি অখণ্ড ধনাত্মক সংখ্যার পাঁচ গুণ, তার বর্গের দ্বিগুণ অপেক্ষা 3 কম হয় তবে সংখ্যাটি নির্ণয় কর।

সমাধানঃ
ধরি, সংখ্যাটি হল $x$ [ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা]
শর্তানুসারে,
$2x^2-5x=3$
বা, $2x^2-5x-3=0$
বা, $2x^2-(6-1)x-3=0$
বা, $2x^2-6x+x-3=0$
বা, $2x(x-3)+1(x-3)=0$
বা, $(x-3)(2x+1)=0$
যেহেতু দুটি সংখ্যার গুনফল শূন্য
∴ হয় $(x-3)=0$
বা, $x=3$
অথবা $(2x+1)=0$

বা, $x=-1/2$
যেহেতু $x$ একটি অখন্ড ধনাত্মক সংখ্যা ।
∴ $x =3$
∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি হল $3$ ।

4. দুটি স্থানের মধ্যে দূরত্ব 200 কিমি ; এক স্থান হতে অপর স্থানে মোটর গাড়িতে যেতে যে সময় লাগে জীপগাড়িতে যেতে তার চেয়ে 2 ঘণ্টা সময় কম লাগে। মোটরগাড়ি অপেক্ষা জিপ গাড়ির গতিবেগ ঘন্টায় 5 কিমি বেশি হলে, মোটরগাড়ির গতিবেগ হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ
ধরি, মোটরগাড়ি গতিবেগ $x$ কিমি/ঘন্টা
∴ জিপগাড়ির গতিবেগ $(x+5)$ কিমি/ঘন্টা
এবং, অতিক্রান্ত দূরত্ব $=200$ কিমি
∴ $200$ কিমি অতিক্রম করতে গাড়িটির সময় লাগে $200/x$ ।
এবং $200$ কিমি অতিক্রম করতে জিপ গাড়িটির সময় লাগ $200/(x+5)$ ।
শর্তানুসারে ,
$200/x-200/(x+5)=2$
বা, $(200(x+5)-200x)/(x(x+5))=2$
বা, $(200x+1000-200x)/(x^2+5x)=2$
বা, $1000=2x^2+10x$
বা, $2x^2+10x-1000=0$
বা, $x^2+5x-500=0$
বা, $x^2+(25-20)x-500=0$
বা, $x^2+25x-20x-500=0$
বা, $x(x+25)-20(x-25)=0$
বা, $(x+25)(x-20)=0$
যেহেতু দুটি সংখ্যার গুনফল শূন্য
∴ হয় $(x-20)=0$
বা, $x=20$
অথবা $(x+25)=0$
বা, $x=-25$
এক্ষেত্রে গতিবেগের মান ঋণাত্মক হতে পারেনা
∴ $x = 20$
∴ মোটরগাড়ি গতিবেগ $20$ কিমি/ঘন্টা ।

5. অমিতাদের আয়তক্ষেত্রাকার জমির ক্ষেত্রফল 2000 বর্গমিটার এবং পরিসীমা 180 মিটার । অমিতাদের আয়তক্ষেত্রাকার জমির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ

অমিতাদের আয়তক্ষেত্রাকার জমির ক্ষেত্রফল $2000$ বর্গমিটার এবং পরিসীমা $180$ মিটার
ধরি, অমিতাদের আয়তক্ষেত্রাকার জমির দৈর্ঘ্য $x$ মিটার অতএব প্রস্থ
$(180 /2) –$ দৈর্ঘ্য $=(90-x)$ মিটার
শর্তানুসারে,
$x(90-x)=2000$
বা, $90x-x^2 =2000$
বা, $x^2-90x+2000=0$
বা, $x^2-(50+40)x+2000=0$
বা, $x^2-50x-40x+2000=0$
বা, $x(x-50)-40(x-50)=0$
বা, $(x-50)(x-40)=0$

যেহেতু দুটি রাশির গুনফল শূন্য
∴ হয় $(x-50)=0$
বা, $x=50$

অথবা, $(x-40)=0$
বা, $x=40$
∴আয়তকার জমির দৈর্ঘ্য $= 50$ মিটার এবং প্রস্থ $= (90-50)$ মিটার $=40$ মিটার।

6. দুই অঙ্কের একটি সংখ্যার দশকের ঘরের অংক এককের ঘরের অংক অপেক্ষা 3 কম । সংখ্যাটি থেকে উহার অংক দুটির গুনফল বিয়োগ করলে বিয়োগফল 15 হয় । সংখ্যাটির একক ঘরের অংক হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ

ধরি, সংখ্যাটির এককের ঘরের অংক $x$
∴ সংখ্যাটির দশকের ঘরের অংক $(x-3)$
∴ সংখ্যাটি হবে $=10(x-3)+x =11x-30$
যেহেতু সংখ্যাটি থেকে উহার অঙ্কদ্বয়ের গুণফল বিয়োগ করলে বিয়োগফল $15$ হয়
∴ $(11x-30)-x(x-3)=15$
বা, $11x-30-x²+3x-15=0$
বা, $-x²+14x-45=0$
বা, $x²-14x+45=0$
বা, $x²-(9+5)x+45=0$
বা, $x²-9x-5x+45=0$
বা, $x(x-9)-5(x-9)=0$
বা, $(x-9)(x-5)=0$

দুটি সংখ্যার গুনফল শূন্য
হয় $(x-9)=0$
বা, $x=9$

অথবা, $(x-5)=0$
বা, $x=5$
∴ এককের ঘরের অঙ্ক হল $5$ অথবা $9$ ।

7. আমাদের স্কুলের চৌবাচ্চায় দুটি নল আছে নল দুটি দিয়ে চৌবাচ্চাটি (11পূর্ণ 1/9) মিনিটে পূর্ণ হয় ।যদি নল দুটি আলাদা ভাবে খোলা থাকে তবে চৌবাচ্চাটি ভর্তি করতে একটি নল অপর নলটি থেকে 5 মিনিট বেশি সময় নেয় ,প্রত্যেকটি নল পৃথকভাবে চৌবাচ্চা থেকে কত সময়ে পূর্ণ করবে হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ

ধরি, চৌবাচ্চাটি ভর্তি করতে একটি নলের সময় লাগে $x$ মিনিট অতএব অপর নলের সময় লাগবে $(x+5)$ মিনিট । ধরি, সমগ্র চৌবাচ্চা $=1$ অংশ

∴ প্রথম নল $x$ মিনিটে পূর্ণ করে $1$ অংশ।
প্রথম নল $1$ মিনিটে পূর্ণ করে $1/x$ অংশ।
আবার দ্বিতীয় নল $(x+5)$ মিনিটে পূর্ণ করে $1$ অংশ।
দ্বিতীয় নল $1$ মিনিটে পূর্ণ করে $1/(x+5)$ অংশ।
∴ দুটি নল একত্রে $1$ মিনিটে পূর্ণ করে $(1/x)+(1/(x+5))$ অংশ।
অর্থাৎ দুটি নল একত্রে $11\frac(1)9$ মিনিটে পূর্ণ করে $11\frac(1)(9)(1/x+1/(x+5))$ অংশ।
শর্তানুসারে,
$11\frac(1)(9)(1/x+1/(x+5))=1$
বা, $\frac(100)(9)(1/x+1/(x+5))=1$
বা, $(1/x+1/(x+5))=9/100$
বা, $(x+5+x)/(x(x+5))=9/100$
বা, $(2x+5)/(x(x+5))=9/100$
বা, $100(2x+5))=9x(x+5)$
বা, $200x+500=9x^2+45x$
বা, $9x^2+45x-200x-500=0$
বা, $9x^2-155x-500=0$
বা, $9x^2-(180-25)x-500=0$
বা, $9x^2-180x+25x-500=0$
বা, $9x(x-20x)+25(x-20)=0$
বা, $(9x+25)(x-20x)=0$

যেহেতু দুটি রাশির গুনফল শূন্য
∴ হয় $(x-20)=0$
বা, $x=20$

অথবা, $(9x+25)=0$
বা, $x=-25/9$
সময় ঋণাত্মক হওয়া অসম্ভব
∴ $x=20$
অর্থাৎ একটি নল চৌবাচ্চা পূর্ণ করে $20$ মিনিটে
∴ অপর নল চৌবাচ্চাটি পূর্ণ করবে $(20+5)$ মিনিটে $= 25$ মিনিটে

8. পর্ণা ও পীযূষ কোন একটি কাজ একত্রে 4 দিনে সম্পন্ন করে । আলাদাভাবে একা কাজ করলে পর্নার যে সময় লাগবে , পীযুষের তার চেয়ে 6 দিন বেশি সময় লাগবে । পর্ণা একাকী কতদিনে কাজটি সম্পন্ন করবে করতে পারবে হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ

ধরি , পর্ণা একাকী কাজটি করতে পারে $x$ দিনে
∴ প্রদত্ত শর্তানুসারে পীযুষের সময় লাগবে $(x+6)$ দিন
ধরি, সমগ্র কাজ $= 1$ অংশ
পর্না $x$ দিনে কাজ করে $1$ অংশ।
পর্না $1$ দিনে কাজ করে $1/x$ অংশ।
এবং পীযূষ $(x+6)$ দিনে কাজ করে $1$ অংশ।
পীযূষ $1$ দিনে কাজ করে $1/(x+6)$ অংশ।
∴ তারা একদিনে একত্রে মোট কাজ করে $(1/x+1/(x+6))$ অংশ।
∴ তারা $4$ দিনে একত্রে মোট কাজ করে $4(1/x+1/(x+6))$ অংশ।
শর্তানুসারে,
$4(1/x+1/(x+6))=1$
$(1/x+1/(x+6))=1/4$
$(x+6+x)/(x(x+6))=1/4$
$(2x+6)/(x(x+6))=1/4$
$4(2x+6)=x(x+6)$
$(8x+24)=x^2+6x$
$x^2+6x-8x-24=0$
$x^2-2x-24=0$
$x^2-(6-4)x-24=0$
$x^2-6x+4x-24=0$
$x(x-6)+4(x-6)=0$
$(x+4)(x-6)=0$
দুটি রাশির গুনফল শূন্য
∴ হয় $(x-6)=0$
বা, $x=6$
অথবা, $(x+4)=0$
বা, $x=-4$

যেহেতু সময় ঋণাত্মক হতে পারেনা।
$x=6$
∴পর্ণা একাকী কাজটি করতে পারবে $6$ দিনে।

9. কলমের মূল্য প্রতি ডজনে 6 টাকা কমলে 30 টাকায় আরো তিনটি বেশি কলম পাওয়া যাবে । কমার পূর্বে প্রতি ডজন কলমের মূল্য নির্ণয় করি ।

সমাধানঃ

ধরি, প্রতি ডজন কলমের মূল্য $x$ টাকা।
∴ $x$ টাকায় পাওয়া যাবে $12$ টি কলম।
1 টাকায় পাওয়া যায় $12/x$ টি কলম।
30 টাকায় পাওয়া যায় $(30*12)/x$ কলম।
$=360/x$ টি কলম।
দাম হ্রাস পাওয়ার পরে প্রতি ডজন কলমের মূল্য $(x-6)$ টাকা
∴ $(x-6)$ টাকায় পাওয়া যায় $12$ টি কলম।
$1$ টাকায় পাওয়া যায় $12/(x-6)$
এবং $30$ টাকায় পাওয়া যায় $(12*30)/(x-6)$ টি কলম।
$=360/(x-6)$ টি কলম।
শর্তানুসারে ,
$360/(x-6)-360/x=3$
বা, $360(1/(x-6)-1/x)=3$
বা, $(1/(x-6)-1/x)=3/360$
বা, $(x-(x-6))/(x(x-6))=1/120$
বা, $6/(x(x-6))=1/120$
বা, $720=x(x-6)$
বা, $x^2-6x=720$
বা, $x^2-6x-720=0$
বা, $x^2-(30-24)x-720=0$
বা, $x^2-30x+24x-720=0$
বা, $x(x-30)+24(x-30)=0$
বা, $(x+24)(x-30)=0$

দুটি রাশির গুনফল শূন্য
∴ হয় $(x-30)=0$
বা, $x=30$

অথবা, $(x+24)=0$
বা, $x=-24$
কলমের মূল্য ঋণাত্মক হতে পারেনা , সুতরাং $x=30$
অর্থাৎ প্রতি ডজন কলমের মূল্য $30$ টাকা ।

10. অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (MCQ)

(i) একটি দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ এর সংখ্যা

(a) একটি

(b) দুটি

(d) কোনোটিই নয়

উত্তরঃ (b) দুটি

(ii)

$ax²+bx+c=0$ দ্বিঘাত সমীকরণ হলে

(a)

$b≠0$

(b)

$c≠0$

(c)

$a≠0$

(d) কোনোটিই নয়

উত্তরঃ (c) $a ≠ 0$

(iii) একটি দ্বিঘাত সমীকরণের চলের সর্বোচ্চ ঘাত

(a)

$1$

(b)

$2$

(c)

$3$

(d) কোনোটিই নয়

উত্তরঃ (b) $2$

(iv)

$4(5x²-7x+2)=5(4x²-6x+3)$ সমীকরণটি

(a) রৈখিক

(b) দ্বিঘাত

(d) কোনোটিই নয়

উত্তরঃ (a) রৈখিক
$4(5x²-7x+2)$ $=5(4x²-6x+3)$
বা, $20x²-28x+8$ $=20x²-30x+15$
বা, $20x^2 -20x^2-28x+30x+8-15=0$
বা, $2x-7=0$ [এটি একটি রৈখিক সমীকরণ]

(v)

$x^2/x=6$ সমীকরণের বীজ/বীজদ্বয়

(a)

$0$

(b)

$6$

(c)

$0$ ও

$6$

(d)

$-6$

উত্তরঃ (b) $6$

(B) নিচের বিবৃতি গুলোর সত্য না মিথ্যা লিখি

(i)

$(x-3)^2 = x^2-6x+9$ একটি দ্বিঘাত সমীকরণ ।

উত্তরঃ প্রদত্ত উক্তিটি মিথ্যা ।
$(x-3)^2 = x^2-6x+9$
বা, $x^2-2.x.3 +32=x^2-6x+9$
বা, $x^2-6x+9= x^2-6x+9$
∴ এটি একটি অভেদ ।

(ii)

$x²=25$ সমীকরণের একটি মাত্র বীজ

$5$

উত্তরঃ প্রদত্ত উক্তিটি মিথ্যা ।

(i) যদি $ax²+bx+c=0$ সমীকরণটির $a=0$ এবং $b≠0$ হয় , তবে সমীকরণটি একটি রৈখিক সমীকরণ ।

(ii) যদি একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজই $1$ হয়, তবে সমীকরণটি হল x²-2x+1=0 ।

(iii) $x²=6x$ সমীকরণের বীজদ্বয় 0 ও $6$

11. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A)

(i)

$x²+ax+3=0$ সমীকরণের একটি বীজ

$1$ হলে,

$a$ - এর মান নির্ণয় করি ।

সমাধানঃ
$x²+ax+3=0$ সমীকরণের একটি বীজ $1$
∴ $(1)²+a(1)+3=0$
বা, $1+a+3=0$
বা, $a= -4$

(ii)

$x²-(2+b)x+6=0$ সমীকরণের একটি বীজ

$2$ হলে , অপর বীজটির মান লিখি ।

সমাধানঃ
$x²-(2+b)x+6=0$ সমীকরণের একটি বীজ $2$
ধরি, অপর বীজ $= a$
∴ $2a=6$ [ ∵ দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুনফল $=$ ধ্রুবক পদ $/x^2$ -এর সহগ ]
বা, $a = 6/2$
বা, $a = 3$
∴ অপর বীজটির মান $= 3$

(iii)

$2x²+kx+4=0$ সমীকরণের একটি বীজ

$2$ হলে , অপর বীজটির মান লিখি ।

সমাধানঃ
ধরি, অপর বীজ $= a$
∴ $2a= 4/2$ [ ∵ দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুনফল $=$ ধ্রুবক পদ $/x^2$ -এর সহগ ]
বা, $2a= 2$
বা, $a = 1$
∴ অপর বীজটির মান $=1$ ।

(iv) একটি প্রকৃত ভগ্নাংশ ও তার অনোন্যক -এর অন্তর

$9/20$ ; সমীকরণটি লিখি ।

সমাধানঃ
ধরি, প্রকৃত ভগ্নাংশ টি হল $x$
∴ তার অনোন্যক হবে $1/x$
শর্তানুসারে,
$x-1/x=9/20$
বা, $(x^2-1)/x=9/20$
বা, $20(x²-1)= 9x$
বা, $20x²-20 = 9x$
বা, $20x²-9x-20=0$
∴ সমীকরণ টি হল $20x²-9x-20=0$ ।

(v)

$ax²+bx+35=0$ সমীকরণের বীজদ্বয়

$-5$ ও

$-7$ হলে,

$a$ এবং

$b$ -এর মান লিখি ।

সমাধানঃ
$-5 × (-7) = 35/a$
[∵ দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুনফল $=$ ধ্রুবক পদ $/x^2$ -এর সহগ ]
বা, $35 = 35/a$
বা, $a= 35/35$
বা, $a =1$
আবার $-5+(-7) = -b/a$
[∵ দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের যোগফল $= -(x$ -এর সহগ $/x^2$ -এর সহগ $)$ ]
বা, $-5-7 = -b/1$
বা, $-12 =-b$
বা, $b =12$
∴ $a$ -এর মান $1$ এবং $b$ -এর মান $12$ ।

Class 10

Search Suggest

অধ্যায় ০১ | কষে দেখি ১.৩ | একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ

কষে দেখি

1.3

এই পোস্টগুলি আপনার ভাল লাগতে পারে

একটি মন্তব্য পোস্ট করুন

Jago Desain