অধ্যায় ০১ | কষে দেখি ১.৩ | একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ

দশম শ্রেণীর গণিত বই এর অধ্যায় ০১ এর কষে দেখি ১.৩ এর সমস্ত সমাধান করে দেওয়া হল। দ্বিঘাত সমীকরণ কষে দেখি ১.৩ | Dighat Somikoron Koshe Dekhi 1.3 Solution

কষে দেখি

1.3

1. দুটি ধনাত্মক সংখ্যার অন্তর 3 এবং তাদের বর্গের সমষ্টি 117। সংখ্যা দুটি হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ 
দুটি ধনাত্মক সংখ্যার অন্তর `3`
ধরি, একটি সংখ্যা `x`
∴ অন্য সংখ্যা টি হবে `(x+3)`

শর্তানুসারে,
`x^2 +(x+3)^2=117`
বা, `x^2+x^2+2.x.3+3^2=117`
বা, `2x^2+6x+9-117=0`
বা, `2x^2+6x-108=0`
বা, `x^2+3x-54=0`
বা, `x^2+(9-6)x-54=0`
বা, `x^2+9x-6x-54=0`
বা, `x(x+9)-6(x+9)=0`
বা, `(x+9)(x-6)=0`

∴ দুটি রাশির গুনফল শূন্য
হয় `(x+9)=0`
বা, `x=-9`

অথবা `(x-6)=0`
বা, `x=6`
যেহেতু সংখ্যাটি ধনাত্মক অতএব `x` এর ঋণাত্মক মান কে অগ্রাহ্য করে পাই
উত্তরঃ সংখ্যা দুটি হলও `6`এবং `6+3=9`

2. একটি ত্রিভুজের ভূমি তার উচ্চতা দ্বিগুণ অপেক্ষা 18 মিটার বেশি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 300 বর্গমিটার হলে তার উচ্চতা নির্ণয় করি।

সমাধানঃ 
ধরি, ত্রিভুজটির উচ্চতা `x` মিটার ।
∴ ত্রিভুজের ভূমি`=(2x+18)` মিটার এবং ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল `360` বর্গমিটার
শর্তানুসারে,
`1/2 × (2x+18)× x= 360` [যেহেতু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল`=1/2×`ভূমি`×`উচ্চতা ]
বা, `x(2x+18)=2×360`
বা, `2x^2+18x=720`
বা, `2x^2+18x-720=0`
বা, `x^2+9x-360=0` [ উভয় পক্ষে `2` দ্বারা ভাগ করে পাই ]
বা, `x^2+(24-15)x-360=0`
বা, `x^2+24x-15x-360=0`
বা, `x(x+24)-15(x+24)=0`
বা, `(x+24)(x-15)=0`

যেহেতু দুটি রাশির গুনফল শূন্য
হয় `(x+24)=0`
বা, `x=-24`

অথবা `(x-15)=0`
বা, `x=15`
যেহেতু ত্রিভুজের উচ্চতা ঋণাত্মক হতে পারে না
∴ `x= 15`
∴ ত্রিভুজের উচ্চতা `15` মিটার ।

3. যদি একটি অখণ্ড ধনাত্মক সংখ্যার পাঁচ গুণ, তার বর্গের দ্বিগুণ অপেক্ষা 3 কম হয় তবে সংখ্যাটি নির্ণয় কর।

সমাধানঃ 
ধরি, সংখ্যাটি হল `x` [ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা]
শর্তানুসারে,
`2x^2-5x=3`
বা, `2x^2-5x-3=0`
বা, `2x^2-(6-1)x-3=0`
বা, `2x^2-6x+x-3=0`
বা, `2x(x-3)+1(x-3)=0`
বা, `(x-3)(2x+1)=0`
যেহেতু দুটি সংখ্যার গুনফল শূন্য
∴ হয় `(x-3)=0`
বা, `x=3`
অথবা `(2x+1)=0`

বা, `x=-1/2`
যেহেতু `x` একটি অখন্ড ধনাত্মক সংখ্যা ।
∴ `x =3`
∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি হল `3` ।

4. দুটি স্থানের মধ্যে দূরত্ব 200 কিমি ; এক স্থান হতে অপর স্থানে মোটর গাড়িতে যেতে যে সময় লাগে জীপগাড়িতে যেতে তার চেয়ে 2 ঘণ্টা সময় কম লাগে। মোটরগাড়ি অপেক্ষা জিপ গাড়ির গতিবেগ ঘন্টায় 5 কিমি বেশি হলে, মোটরগাড়ির গতিবেগ হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ 
ধরি, মোটরগাড়ি গতিবেগ `x` কিমি/ঘন্টা
∴ জিপগাড়ির গতিবেগ `(x+5)` কিমি/ঘন্টা
এবং, অতিক্রান্ত দূরত্ব `=200` কিমি
∴ `200` কিমি অতিক্রম করতে গাড়িটির সময় লাগে `200/x` ।
এবং `200` কিমি অতিক্রম করতে জিপ গাড়িটির সময় লাগ `200/(x+5)`।
শর্তানুসারে ,
`200/x-200/(x+5)=2`
বা, `(200(x+5)-200x)/(x(x+5))=2`
বা, `(200x+1000-200x)/(x^2+5x)=2`
বা, `1000=2x^2+10x`
বা, `2x^2+10x-1000=0`
বা, `x^2+5x-500=0`
বা, `x^2+(25-20)x-500=0`
বা, `x^2+25x-20x-500=0`
বা, `x(x+25)-20(x-25)=0`
বা, `(x+25)(x-20)=0`
যেহেতু দুটি সংখ্যার গুনফল শূন্য
∴ হয় `(x-20)=0`
বা, `x=20`
অথবা `(x+25)=0`
বা, `x=-25`
এক্ষেত্রে গতিবেগের মান ঋণাত্মক হতে পারেনা
∴ `x = 20`
∴ মোটরগাড়ি গতিবেগ `20` কিমি/ঘন্টা ।

5. অমিতাদের আয়তক্ষেত্রাকার জমির ক্ষেত্রফল 2000 বর্গমিটার এবং পরিসীমা 180 মিটার । অমিতাদের আয়তক্ষেত্রাকার জমির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ 

অমিতাদের আয়তক্ষেত্রাকার জমির ক্ষেত্রফল `2000` বর্গমিটার এবং পরিসীমা `180` মিটার
ধরি, অমিতাদের আয়তক্ষেত্রাকার জমির দৈর্ঘ্য `x` মিটার অতএব প্রস্থ
`(180 /2) –` দৈর্ঘ্য `=(90-x)` মিটার
শর্তানুসারে,
`x(90-x)=2000`
বা, `90x-x^2 =2000`
বা, `x^2-90x+2000=0`
বা, `x^2-(50+40)x+2000=0`
বা, `x^2-50x-40x+2000=0`
বা, `x(x-50)-40(x-50)=0`
বা, `(x-50)(x-40)=0`

যেহেতু দুটি রাশির গুনফল শূন্য
∴ হয় `(x-50)=0`
বা, `x=50`

অথবা, `(x-40)=0`
বা, `x=40`
∴আয়তকার জমির দৈর্ঘ্য `= 50` মিটার এবং প্রস্থ `= (90-50)` মিটার `=40` মিটার।

6. দুই অঙ্কের একটি সংখ্যার দশকের ঘরের অংক এককের ঘরের অংক অপেক্ষা 3 কম । সংখ্যাটি থেকে উহার অংক দুটির গুনফল বিয়োগ করলে বিয়োগফল 15 হয় । সংখ্যাটির একক ঘরের অংক হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ 

ধরি, সংখ্যাটির এককের ঘরের অংক `x`
∴ সংখ্যাটির দশকের ঘরের অংক `(x-3)`
∴ সংখ্যাটি হবে `=10(x-3)+x =11x-30`
যেহেতু সংখ্যাটি থেকে উহার অঙ্কদ্বয়ের গুণফল বিয়োগ করলে বিয়োগফল `15` হয়
∴ `(11x-30)-x(x-3)=15`
বা, `11x-30-x²+3x-15=0`
বা, `-x²+14x-45=0`
বা, `x²-14x+45=0`
বা, `x²-(9+5)x+45=0`
বা,`x²-9x-5x+45=0`
বা, `x(x-9)-5(x-9)=0`
বা, `(x-9)(x-5)=0`

দুটি সংখ্যার গুনফল শূন্য
হয় `(x-9)=0`
বা, `x=9`

অথবা, `(x-5)=0`
বা, `x=5`
∴ এককের ঘরের অঙ্ক হল `5` অথবা `9` ।

7. আমাদের স্কুলের চৌবাচ্চায় দুটি নল আছে নল দুটি দিয়ে চৌবাচ্চাটি (11পূর্ণ 1/9) মিনিটে পূর্ণ হয় ।যদি নল দুটি আলাদা ভাবে খোলা থাকে তবে চৌবাচ্চাটি ভর্তি করতে একটি নল অপর নলটি থেকে 5 মিনিট বেশি সময় নেয় ,প্রত্যেকটি নল পৃথকভাবে চৌবাচ্চা থেকে কত সময়ে পূর্ণ করবে হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ 

ধরি, চৌবাচ্চাটি ভর্তি করতে একটি নলের সময় লাগে `x` মিনিট অতএব অপর নলের সময় লাগবে `(x+5)` মিনিট । ধরি, সমগ্র চৌবাচ্চা `=1` অংশ

∴ প্রথম নল `x` মিনিটে পূর্ণ করে `1` অংশ।
প্রথম নল `1` মিনিটে পূর্ণ করে `1/x` অংশ।
আবার দ্বিতীয় নল `(x+5)` মিনিটে পূর্ণ করে `1` অংশ।
দ্বিতীয় নল `1` মিনিটে পূর্ণ করে `1/(x+5)` অংশ।
∴ দুটি নল একত্রে `1` মিনিটে পূর্ণ করে `(1/x)+(1/(x+5))` অংশ।
অর্থাৎ দুটি নল একত্রে `11\frac(1)9` মিনিটে পূর্ণ করে `11\frac(1)(9)(1/x+1/(x+5))` অংশ।
শর্তানুসারে,
`11\frac(1)(9)(1/x+1/(x+5))=1`
বা, `\frac(100)(9)(1/x+1/(x+5))=1`
বা, `(1/x+1/(x+5))=9/100`
বা, `(x+5+x)/(x(x+5))=9/100`
বা, `(2x+5)/(x(x+5))=9/100`
বা, `100(2x+5))=9x(x+5)`
বা, `200x+500=9x^2+45x`
বা, `9x^2+45x-200x-500=0`
বা, `9x^2-155x-500=0`
বা, `9x^2-(180-25)x-500=0`
বা, `9x^2-180x+25x-500=0`
বা, `9x(x-20x)+25(x-20)=0`
বা, `(9x+25)(x-20x)=0`

যেহেতু দুটি রাশির গুনফল শূন্য
∴ হয় `(x-20)=0`
বা, `x=20`

অথবা, `(9x+25)=0`
বা, `x=-25/9`
সময় ঋণাত্মক হওয়া অসম্ভব
∴ `x=20`
অর্থাৎ একটি নল চৌবাচ্চা পূর্ণ করে `20` মিনিটে
∴ অপর নল চৌবাচ্চাটি পূর্ণ করবে `(20+5)` মিনিটে `= 25` মিনিটে

8. পর্ণা ও পীযূষ কোন একটি কাজ একত্রে 4 দিনে সম্পন্ন করে । আলাদাভাবে একা কাজ করলে পর্নার যে সময় লাগবে , পীযুষের তার চেয়ে 6 দিন বেশি সময় লাগবে । পর্ণা একাকী কতদিনে কাজটি সম্পন্ন করবে করতে পারবে হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ 

ধরি , পর্ণা একাকী কাজটি করতে পারে `x` দিনে
∴ প্রদত্ত শর্তানুসারে পীযুষের সময় লাগবে `(x+6)` দিন
ধরি, সমগ্র কাজ `= 1` অংশ
পর্না `x` দিনে কাজ করে `1` অংশ।
পর্না `1` দিনে কাজ করে `1/x` অংশ।
এবং পীযূষ `(x+6)` দিনে কাজ করে `1` অংশ।
পীযূষ `1` দিনে কাজ করে `1/(x+6)` অংশ।
∴ তারা একদিনে একত্রে মোট কাজ করে `(1/x+1/(x+6))` অংশ।
∴ তারা `4` দিনে একত্রে মোট কাজ করে `4(1/x+1/(x+6))` অংশ।
শর্তানুসারে,
`4(1/x+1/(x+6))=1`
`(1/x+1/(x+6))=1/4`
`(x+6+x)/(x(x+6))=1/4`
`(2x+6)/(x(x+6))=1/4`
`4(2x+6)=x(x+6)`
`(8x+24)=x^2+6x`
`x^2+6x-8x-24=0`
`x^2-2x-24=0`
`x^2-(6-4)x-24=0`
`x^2-6x+4x-24=0`
`x(x-6)+4(x-6)=0`
`(x+4)(x-6)=0`
দুটি রাশির গুনফল শূন্য
∴ হয় `(x-6)=0`
বা, `x=6`
অথবা, `(x+4)=0`
বা, `x=-4`

যেহেতু সময় ঋণাত্মক হতে পারেনা।
`x=6`
∴পর্ণা একাকী কাজটি করতে পারবে `6` দিনে।

9. কলমের মূল্য প্রতি ডজনে 6 টাকা কমলে 30 টাকায় আরো তিনটি বেশি কলম পাওয়া যাবে । কমার পূর্বে প্রতি ডজন কলমের মূল্য নির্ণয় করি ।

সমাধানঃ 

ধরি, প্রতি ডজন কলমের মূল্য `x` টাকা।
∴ `x` টাকায় পাওয়া যাবে `12` টি কলম।
1 টাকায় পাওয়া যায় `12/x` টি কলম।
30 টাকায় পাওয়া যায় `(30*12)/x` কলম।
`=360/x` টি কলম।
দাম হ্রাস পাওয়ার পরে প্রতি ডজন কলমের মূল্য `(x-6)` টাকা
∴ `(x-6)` টাকায় পাওয়া যায় `12` টি কলম।
`1` টাকায় পাওয়া যায় `12/(x-6)`
এবং `30` টাকায় পাওয়া যায় `(12*30)/(x-6)` টি কলম।
`=360/(x-6)` টি কলম।
শর্তানুসারে ,
`360/(x-6)-360/x=3`
বা, `360(1/(x-6)-1/x)=3`
বা, `(1/(x-6)-1/x)=3/360`
বা, `(x-(x-6))/(x(x-6))=1/120`
বা, `6/(x(x-6))=1/120`
বা, `720=x(x-6)`
বা, `x^2-6x=720`
বা, `x^2-6x-720=0`
বা, `x^2-(30-24)x-720=0`
বা, `x^2-30x+24x-720=0`
বা, `x(x-30)+24(x-30)=0`
বা, `(x+24)(x-30)=0`

দুটি রাশির গুনফল শূন্য
∴ হয় `(x-30)=0`
বা, `x=30`

অথবা, `(x+24)=0`
বা, `x=-24`
কলমের মূল্য ঋণাত্মক হতে পারেনা , সুতরাং `x=30`
অর্থাৎ প্রতি ডজন কলমের মূল্য `30` টাকা ।

10. অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (MCQ)

(i) একটি দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ এর সংখ্যা

(a) একটি

(b) দুটি

(c) তিনটি

(d) কোনোটিই নয়

উত্তরঃ (b) দুটি

(ii) `ax²+bx+c=0` দ্বিঘাত সমীকরণ হলে

(a) `b≠0`

(b) `c≠0`

(c) `a≠0`

(d) কোনোটিই নয়

উত্তরঃ (c) `a ≠ 0`

(iii) একটি দ্বিঘাত সমীকরণের চলের সর্বোচ্চ ঘাত

(a) `1`

(b) `2`

(c) `3`

(d) কোনোটিই নয়

উত্তরঃ (b) `2`

(iv) `4(5x²-7x+2)=5(4x²-6x+3)` সমীকরণটি

(a) রৈখিক

(b) দ্বিঘাত

(c) ত্রিঘাত

(d) কোনোটিই নয়

উত্তরঃ (a) রৈখিক
`4(5x²-7x+2)``=5(4x²-6x+3)`
বা, `20x²-28x+8``=20x²-30x+15`
বা, `20x^2 -20x^2-28x+30x+8-15=0`
বা, `2x-7=0` [এটি একটি রৈখিক সমীকরণ]

(v) `x^2/x=6` সমীকরণের বীজ/বীজদ্বয়

(a) `0`

(b) `6`

(c) `0` ও `6`

(d) `-6`

উত্তরঃ (b) `6`

(B) নিচের বিবৃতি গুলোর সত্য না মিথ্যা লিখি

(i) `(x-3)^2 = x^2-6x+9` একটি দ্বিঘাত সমীকরণ ।

উত্তরঃ প্রদত্ত উক্তিটি মিথ্যা ।
`(x-3)^2 = x^2-6x+9`
বা, `x^2-2.x.3 +32=x^2-6x+9`
বা, `x^2-6x+9= x^2-6x+9`
∴ এটি একটি অভেদ ।

(ii) `x²=25` সমীকরণের একটি মাত্র বীজ `5`

উত্তরঃ প্রদত্ত উক্তিটি মিথ্যা ।

(c) শূন্যস্থান পূরণ করি

(i) যদি `ax²+bx+c=0` সমীকরণটির `a=0` এবং `b≠0` হয় , তবে সমীকরণটি একটি    রৈখিক    সমীকরণ ।

(ii) যদি একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজই `1` হয়, তবে সমীকরণটি হল    x²-2x+1=0    ।

(iii) `x²=6x` সমীকরণের বীজদ্বয়    0    ও `6`

11. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A)

(i) `x²+ax+3=0` সমীকরণের একটি বীজ `1` হলে, `a` - এর মান নির্ণয় করি ।

সমাধানঃ 
`x²+ax+3=0` সমীকরণের একটি বীজ `1`
∴ `(1)²+a(1)+3=0`
বা, `1+a+3=0`
বা, `a= -4`

(ii) `x²-(2+b)x+6=0` সমীকরণের একটি বীজ `2` হলে , অপর বীজটির মান লিখি ।

সমাধানঃ 
`x²-(2+b)x+6=0` সমীকরণের একটি বীজ `2`
ধরি, অপর বীজ `= a`
∴ `2a=6` [ ∵ দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুনফল `=` ধ্রুবক পদ`/x^2` -এর সহগ ]
বা, `a = 6/2`
বা, `a = 3`
∴ অপর বীজটির মান `= 3`

(iii) `2x²+kx+4=0` সমীকরণের একটি বীজ `2` হলে , অপর বীজটির মান লিখি ।

সমাধানঃ 
ধরি, অপর বীজ `= a`
∴ `2a= 4/2` [ ∵ দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুনফল `=` ধ্রুবক পদ`/x^2` -এর সহগ ]
বা, `2a= 2`
বা, `a = 1`
∴ অপর বীজটির মান `=1` ।

(iv) একটি প্রকৃত ভগ্নাংশ ও তার অনোন্যক -এর অন্তর `9/20` ; সমীকরণটি লিখি ।

সমাধানঃ 
ধরি, প্রকৃত ভগ্নাংশ টি হল `x`
∴ তার অনোন্যক হবে `1/x`
শর্তানুসারে,
`x-1/x=9/20`
বা, `(x^2-1)/x=9/20`
বা, `20(x²-1)= 9x`
বা, `20x²-20 = 9x`
বা, `20x²-9x-20=0`
∴ সমীকরণ টি হল `20x²-9x-20=0` ।

(v) `ax²+bx+35=0` সমীকরণের বীজদ্বয় `-5` ও `-7` হলে, `a` এবং `b` -এর মান লিখি ।

সমাধানঃ 
`-5 × (-7) = 35/a`
[∵ দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুনফল `=` ধ্রুবক পদ`/x^2` -এর সহগ ]
বা, `35 = 35/a`
বা, `a= 35/35`
বা, `a =1`
আবার `-5+(-7) = -b/a`
[∵ দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের যোগফল `= -(x`-এর সহগ `/x^2` -এর সহগ`)`]
বা, `-5-7 = -b/1`
বা, `-12 =-b`
বা, `b =12`
∴ `a` -এর মান `1` এবং `b` -এর মান `12` ।